Хемікомпактний простір

У математиці топологічний простір $X$ називається хемікомпактним якщо у ньому є зліченна послідовність компактних підмножин $K_n$ і для довільної компактної підмножини $K\subset X$ також $K\subset K_n$ для деякого n. Оскільки кожна одноточкова множина є компактною, то об'єднання елементів $K_n$ є рівним усьому простору $X$ .

Приклади

• Будь-який компактний простір є хемікомпактним.
• Дійсні числа із стандартною топологією утворюють хемікомпактний простір.
• Будь-який локально компактний простір Ліндельофа є хемікомпактним.

Властивості

• Кожний хемікомпактний простір є σ-компактним. Якщо для нього також виконується перша аксіома зліченності то він є локально компактним.
• Для локально компактних просторів такі умови є еквівалентними:

1. $X$ є хемікомпактним простором
2. $X$ є простором Ліндельофа,
3. $X$ є σ-компактним простором,
4. для $X$ існує зліченне покриття компактними множинами $K_i,$ що $K_i\subseteq \text{Int}{K}_{i+1}$ для всіх $i$
5. $X$ є компактним простором або точка $\mathrm{\infty }$ у його одноточковій компактифікації має зліченну базу околів.

• Якщо $X$ є хемікомпактним простором, то множина $C(X,M)$ усіх відображень $f:X\to M$ у метричний простір $(M,\delta )$ із компактно-відкритою топологією є метризовним. Нехай $K_1,K_2,\dots$ є послідовністю компактних підмножин $X$ із означення хемікомпактності. На просторі $X$ можна задати псевдометрики:

$d_n(f,g)=\underset{x\in K_n}{\sup }|f(x)-g(x)|,f,g\in C(X,M),n\in \mathbb{N}.$

Тоді

$d(f,g)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n}\cdot \frac{d_n(f,g)}{1+d_n(f,g)}$

є метрикою на $C(X,M),$ яка породжує компактно-відкриту топологію.

Див. також

• Компактний простір
• Локально компактний простір
• Простір Ліндельофа

Література

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book