Плюккерові координати

Плю́керові координа́ти — координати (набори чисел), що визначають підпростори $M$ (довільної розмірності) векторного або проєктивного простору $L$. Є узагальненням однорідних координат точок проєктивного простору та також визначені з точністю до множення на довільний ненульовий множник. Уперше ввів Плюккер у окремому випадку проєктивних прямих у тривимірному проєктивному просторі, що для векторних просторів відповідає випадку $\dim M=2$ і $\dim L=4$.

Визначення в координатах

Нехай $M$ — $m$-вимірний підпростір $n$-вимірного векторного простору $L$. Для визначення плюкерових координат підпростору $M$ виберемо довільний базис $e_1,\dots ,e_n$ в $L$ і довільний базис $a_1,\dots ,a_m$ в $M$. Кожен вектор $a_i$ має в базисі $e_1,\dots ,e_n$ координати $(a_{i1},\dots ,a_{in})$, тобто $a_i=a_{i1}{e}_1+\dots +a_{in}{e}_n$. Записуючи координати векторів $a_1,\dots ,a_m$ у вигляді рядків, отримаємо матрицю

$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right),$

ранг якої дорівнює $m$. Позначимо через $M_{i_1,\dots ,i_m}$ мінор матриці $A$, що складається зі стовпців з номерами $i_1,\dots ,i_m$, які набувають значень від $1$ до $n$. Числа $M_{i_1,\dots ,i_m}$ незалежні: якщо набір індексів $(i_1,\dots ,i_m)$ отримано з $(j_1,\dots ,j_m)$ за допомогою перестановки $\sigma \in S_m$, то виконується рівність $M_{i_1,\dots ,i_m}=\pm M_{j_1,\dots ,j_m}$, де знак «плюс» або «мінус» відповідає тому, чи є перестановка $\sigma$ парною, чи непарною. Розглянута з точністю до множення на спільний ненульовий множник сукупність $C_n^m$ чисел $p_{i_1,\dots ,i_m}=M_{i_1,\dots ,i_m}$ для всіх упорядкованих наборів індексів $i_1<\dots <i_m$, що набувають значень від $1$ до $n$, називають плюккеровими координатами підпростору $M$.

Властивості

1. Незалежність від вибору базису.

Якщо в підпросторі $M$ вибрано інший базис $a{\text{'}}_1,\dots ,a{\text{'}}_m$, то новий набір плюккерових координат $p{\text{'}}_{i_1,\dots ,i_m}$ матиме вигляд $p{\text{'}}_{i_1,\dots ,i_m}=c\cdot p_{i_1,\dots ,i_m}$, де $c$ — деякий ненульовий множник. Справді, новий базис пов'язаний зі старими співвідношеннями $a{\text{'}}_i=a{\text{'}}_{i1}{a}_1+\cdots +a{\text{'}}_{im}{a}_m$, і визначник матриці $(a{\text{'}}_{ij})$ відмінний від нуля. Відповідно до визначення плюккерових координат і теореми про визначник добутку матриць, маємо $p{\text{'}}_{i_1,\dots ,i_m}=c\cdot p_{i_1,\dots ,i_m}$, де $c=\det (a{\text{'}}_{ij})$.

2. Грассманіан.

Ставлячи у відповідність кожному $m$-вимірному підпростору $M$ набір його плюккерових координат $p_{i_1,\dots ,i_m}$, ми зіставляємо $M$ деяку точку проєктивного простору $P$ розмірності $C_n^m-1$. Побудоване в такий спосіб відображення $g$ ін'єктивне, але не сюр'єктивне (тобто його образ не збігається з усім простором $P$). Образ множини всіх $m$-вимірних підпросторів $n$-вимірного простору при відображенні $g$ є $m(n-m)$-вимірним проєктивним алгебричним многовидом $P$, що називається многовидом Грассмана або грассманіаном і позначається $G(m,n)$ або ${\mathrm{G}\mathrm{r}}_m(L)$.

3. Співвідношення Плюккера.

Критерієм, за яким можна визначити, чи належить точка проєктивного простору $P$ грасманіану $G(m,n)$ є так звані співвідношення Плюккера:

$\sum _{r=1}^{m+1}(-1{)}^r{p}_{j_1,\dots ,j_{m-1}{k}_r}\cdot p_{k_1,\dots ,\breve{k_r},\dots ,k_{m+1}}=0,\mathrm{\forall }(j_1,\dots ,j_{m-1}),\mathrm{\forall }(k_1,\dots ,k_{m+1}),$

де всі індекси в наборах $(j_1,\dots ,j_{m-1})$ і $(k_1,\dots ,k_{m+1})$ набувають значень від $1$ до $n$, знак $\stackrel{}{˘}$ позначає пропуск індексу, що стоїть під ним. Ця сума виходить, якщо із сукупності $(k_1,\dots ,k_{m+1})$ викинути почергово по одному індексу і цей індекс приписати праворуч до набору $(j_1,\dots ,j_{m-1})$, потім два числа, що вийшли $p_{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m}=M_{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m}$ перемножити (зауважимо, що ці числа є мінорами матриці $A$, але не обов'язково є плюккеровими координатами, оскільки набори їхніх індексів не обов'язково впорядковані за зростанням) і потім взяти суму всіх таких добутків зі знаками, що чергуються. Співвідношення Плюккера виконуються для кожного $m$-вимірного підпростору $M\subset L$. І навпаки, якщо однорідні координати $p_{i_1,\dots ,i_m}$, $i_1<\dots <i_m$, деякої точки проєктивного простору $P$ задовольняють цим співвідношенням, то ця точка при відображенні $g$ відповідає деякому підпростору $M\subset L$, тобто належить $G(m,n)$.

Мовою матриць це означає: якщо числа $p_{i_1,\dots ,i_m}$ задовольняють співвідношенням Плюккера, існує матриця, для якої вони є мінорами максимального порядку, а якщо ні, то не існує такої матриці. Це розв'язує задачу про можливість відновлення матриці за її мінорами максимального порядку з точністю до лінійного перетворення рядків.

Приклад

У разі $n=4$ і $m=2$ маємо $C_4^2=6$, і отже, кожна площина $M$ у 4-вимірному векторному просторі має $6$ плюккерових координат: $p_{12}$, $p_{13}$, $p_{14}$, $p_{23}$, $p_{24}$, $p_{34}$. Вибираючи в площині $M$ базис $a_1,a_2$ так, що $a_1=e_1$ і $a_2=e_2$, отримуємо матрицю

$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \alpha & \beta \\ 0& 1& \gamma & \delta \end{array}\right),$

звідки знаходимо:

$p_{12}=1$, $p_{13}=\gamma$, $p_{14}=\delta$, $p_{23}=-\alpha$, $p_{24}=-\beta$, $p_{34}=\alpha \delta -\beta \gamma$ .

Очевидно, що виконується співвідношення

$p_{12}{p}_{34}-p_{13}{p}_{24}+p_{14}{p}_{23}=0$ ,

яке зберігається при множенні всіх $p_{i_1{i}_2}$ на будь-який спільний множник, тобто не залежить від вибору базису. Це і є співвідношення Плюккера, яке визначає проєктивну квадрику $G(2,4)$ у 5-вимірному проєктивному просторі.

Див. також

• Задача Кіркмана про школярок

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга (Тут плюккерові координати названо грассмановими).
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга