Оператор зсуву

У математиці, і зокрема у функційному аналізі, оператор зсуву, також відомий як оператор трансляції — це оператор, який переводить функцію $x\mapsto f(x)$ у її трансляцію $x\mapsto f(x+a)$. В аналізі часових рядів оператор зсуву називається оператором відставання.

Оператори зсуву є прикладами лінійних операторів, важливі через їх простоту та природність. Дія оператора зсуву на функції дійсної змінної відіграє важливу роль у гармонічному аналізі, наприклад, вона з’являється у визначеннях майже періодичних функцій, позитивно визначених функцій, похідних і згортки. Зміщення послідовностей (функцій цілочисельної змінної) з’являються в різних областях, таких як простори Гарді, теорія абелевих многовидів і теорія символічної динаміки, для яких карта Бейкера є наочним представленням.

Означення

Функції дійсної змінної

Оператор зсуву $T^t$ (де $t\in R$) переводить функцію Шаблон:Math визначену на R у її образ Шаблон:Math,

$T^{t}f(x)=f_t(x)=f(x+t).$

Практичне операційно-численне представлення лінійного оператора $T^t$ в термінах звичайної похідної $\frac{d}{dx}$ було запропоноване Лагранжем

$T^t=e^{t\frac{d}{dx}},$

який можна інтерпретувати через його формальний розклад Тейлора в Шаблон:Mvar; і чия дія на одночлен Шаблон:Math очевидна з біноміальної теореми, а отже, і на увесь ряд за Шаблон:Mvar, отже, на всі функції Шаблон:Math, як описано вище. Отже, це формальне кодування розкладу Тейлора в аналізі Хевісайда.

Таким чином, оператор надає прототип знаменитого адвективного потоку Лі для абелевих груп,

$e^{t\beta (x)\frac{d}{dx}}f(x)=e^{t\frac{d}{dh}}F(h)=F(h+t)=f(h^{-1}(h(x)+t)),$

де канонічні координати Шаблон:Mvar (функції Абеля) визначені так, що

$h^{\prime }(x)\equiv \frac{1}{\beta (x)},f(x)\equiv F(h(x)).$

З цього легко випливає, що, наприклад, $\beta (x)=x$ дає масштабування,

$e^{tx\frac{d}{dx}}f(x)=f(e^{t}x),$

отже $e^{i\pi x\frac{d}{dx}}f(x)=f(-x)$ (паритет); так само, $\beta (x)=x^2$ дає

$e^{t{x}^2\frac{d}{dx}}f(x)=f\left(\frac{x}{1-tx}\right),$

$\beta (x)=1/x$ дає

$e^{\frac{t}{x}\frac{d}{dx}}f(x)=f\left(\sqrt{x^2+2t}\right),$

$\beta (x)=e^x$ дає

$\exp \left(t{e}^x\frac{d}{dx}\right)f(x)=f(\ln \left(\frac{1}{e^{-x}-t}\right)),$

тощо.

Початкова умова потоку та групова властивість однозначно визначають весь потік Лі, забезпечуючи розв’язок трансляційного функційного рівняння

$f_t(f_{\tau }(x))=f_{t+\tau }(x).$

Послідовності

Оператор зсуву вліво діє на односторонню нескінченну послідовність чисел наступним чином

$S^{*}:(a_1,a_2,a_3,\dots )\mapsto (a_2,a_3,a_4,\dots )$

а на двосторонніх нескінченних послідовностях

$T:(a_k{)}_{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mapsto (a_{k+1}{)}_{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}.$

Оператор зсуву вправо діє на односторонню нескінченну послідовність чисел задається так

$S:(a_1,a_2,a_3,\dots )\mapsto (0,a_1,a_2,\dots )$

а на двосторонніх нескінченних послідовностях

$T^{-1}:(a_k{)}_{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mapsto (a_{k-1}{)}_{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}.$

Оператори зсуву вправо і вліво, що діють на двосторонні нескінченні послідовності, називаються двосторонніми зсувами.

Абелеві групи

Загалом, як показано вище, якщо Шаблон:Math є функцією на абелевій групі Шаблон:Math, а Шаблон:Math є елементом Шаблон:Math, оператор зсуву Шаблон:Math відображає Шаблон:Math на

$F_g(h)=F(h+g).$

Властивості оператора зсуву

Оператор зсуву, що діє на дійсно- чи комплекснозначні функції або послідовності, є лінійним оператором, який зберігає більшість стандартних норм, якими оперують в функційному аналізі. Тому зазвичай це неперервний оператор з нормою один.

Застосування на Гільбертових просторах

Оператор зсуву, що діє на двосторонні послідовності, є унітарним оператором в Шаблон:Math. Оператор зсуву, що діє на функції дійсної змінної, є унітарним оператором в Шаблон:Math .

В обох випадках оператор зсуву (вліво) задовольняє таке комутаційне співвідношення з перетворенням Фур’є:$$ℱT^t=M^tℱ,$$де Шаблон:Math — оператор множення на Шаблон:Math . Отже, спектр Шаблон:Math є одиничним колом.

Однобічний зсув Шаблон:Math, що діє в Шаблон:Math, є правильною ізометрією з діапазоном, що дорівнює всім векторам, перша координата яких зануляється. Оператор S є стисненням Шаблон:Math у сенсі$$T^{-1}y=Sx\text{ for each }x\in {\ell }^2(\mathbb{N}),$$де Шаблон:Math — вектор у Шаблон:Math з Шаблон:Math для Шаблон:Math та Шаблон:Math для Шаблон:Math . Це спостереження лежить в основі побудови багатьох унітарних розширень ізометрій.

Спектр S є одиничним кругом. Зсув S є одним із прикладів оператора Фредгольма з індексом Фредгольма −1.

Узагальнення

Жан Дельсарт ввів поняття узагальненого оператора зсуву (також називається узагальненим оператором зсуву ); далі поняття розвинув Борис Левітан.

Сімейство операторів $\{L^x{\}}_{x\in X}$, що діють в просторі Шаблон:Math функцій з множини Шаблон:Math на множину Шаблон:Math, називається сімейством операторів узагальненого зсуву, якщо задовольняються наступні умови:

1. Асоціативність: нехай $(R^{y}f)(x)=(L^{x}f)(y)$. Тоді $L^x{R}^y=R^y{L}^x$.
2. $\mathrm{\exists }e\in X:L^e$ — є тотожним оператором.

Див. також

• Арифметичний зсув
• Логічний зсув
• Кінцева різниця

Бібліографія

• Шаблон:Cite book
• Marvin Rosenblum and James Rovnyak, Hardy Classes and Operator Theory, (1985) Oxford University Press.