Стала Глейшера — Кінкеліна

У математиці стала Глейшера — Кінкеліна (або стала Глейшера), зазвичай позначається як $A$, — математична стала, що пов'язана з K-функцією та Шаблон:Нп. Стала виникає у багатьох сумах та інтегралах, особливо в тих, де присутні гамма-функції та дзета-функції. Названа на честь математиків Шаблон:Нп та Шаблон:Нп.

Її наближене значення дорівнює

$A=1,28242712910062263687\dots$ (Шаблон:OEIS).

Стала Глейшера — Кінкеліна може бути визначена як границя

$A=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{H(n)}{n^{\frac{n^2}{2}+\frac{n}{2}+\frac{1}{12}}{\mathrm{e}}^{-\frac{n^2}{4}}}$,

де $H(n)=\prod _{k=1}^n{k}^k$ — гіперфакторіал. Ця формула показує зв'язок між $A$ та $\pi$, який, можливо, найкраще ілюструє формула Стірлінга

$\sqrt{2\pi }=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n!}{n^{n+\frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^{-n}}$,

яка показує, що $\pi$ — границя відповідної послідовності факторіалів, а $A$, своєю чергою — границя відповідної послідовності гіперфакторіалів.

Еквівалентним є означення сталої $A$ через Шаблон:Нп:

($G(n)=\prod _{k=1}^{n-2}k!=\frac{[\mathrm{\Gamma }(n){]}^{n-1}}{K(n)}$,

де $\mathrm{\Gamma }(n)$ — гамма-функція, $K(n)$ — K-функція)

$A=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{(2\pi {)}^{\frac{n}{2}}{n}^{\frac{n^2}{2}-\frac{1}{12}}{\mathrm{e}}^{-\frac{3n^2}{4}+\frac{1}{12}}}{G(n+1)}$.

Стала Глейшера — Кінкеліна також з'являється при обчисленні похідних дзета-функції Рімана, наприклад,

$\begin{array}{cc}& {\zeta }^{\prime }(-1)=\frac{1}{12}-\ln A,\\ & \sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{\ln k}{k^2}=-{\zeta }^{\prime }(2)=\frac{{\pi }^2}{6}(12\ln A-\gamma -\ln 2\pi ),\end{array}$

де $\gamma$ — стала Ейлера — Маскероні.

Наступна рівність була виведена Шаблон:Нп:

$\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{k}^{\frac{1}{k^2}}={\left(\frac{A^{12}}{2\pi {\mathrm{e}}^{\gamma }}\right)}^{\frac{{\pi }^2}{6}}$.

Альтернативною є формула, визначена для простих чисел.

$\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_k^{\frac{1}{p_k^2-1}}=\frac{A^{12}}{2\pi {\mathrm{e}}^{\gamma }}$

де $p_k$ — $k$-те просте число.

Наведемо приклади визначених інтегралів, де зустрічається стала $A$,

$\begin{array}{c}\underset{0}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}\ln \mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{d}x=\frac{3}{2}\ln A+\frac{5}{24}\ln 2+\frac{1}{4}\ln \pi ,\\ \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x\ln x}{{\mathrm{e}}^{2\pi x}-1}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}{\zeta }^{\prime }(-1)=\frac{1}{24}-\frac{1}{2}\ln A.\end{array}$

Стала $A$ може бути представлена у вигляді суми, яка випливає з представлення дзета-функції Рімана, отриманого Гельмутом Гассе:

$\ln A=\frac{1}{8}-\frac{1}{2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n(-1{)}^k{C}_n^k(k+1{)}^2\ln (k+1).$

Література

• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal (Provides a variety of relationships.)
• Шаблон:Mathworld
• Шаблон:Mathworld

Посилання

• Значення сталої Глейшера–Кінкеліна до 20000 знаків після коми