Фактор-категорія

Для абелевих фактор-категорій, що породжуються Шаблон:Нп, див. Шаблон:Нп.

У математиці фактор-категорія — це категорія, що отримується із іншої категорії шляхом ототожнювання множин морфізмів. Формально кажучи, це фактор-об'єкт в Шаблон:Нп, аналогічно до фактор-групи або фактор-простору, але в сенсі категорій.

Означення

Нехай $C$ — категорія. $R$ — відношення конґруентності на категорії $C$, що визначається наступним чином: для кожної пари об'єктів $X,Y\in C$ існує відношення еквівалентності $\mathrm{Hom}(X,Y)$ — відношення еквівалентності відносно композиції морфізмів. Тобто, якщо

$f_1,f_2:X\to Y$

еквівалентні на $\mathrm{Hom}(X,Y)$ і

$g_1,g_2:Y\to Z$

еквівалентні на $\mathrm{Hom}(Y,Z)$, тоді $g_1{f}_1$ і $g_2{f}_2$ еквівалентні на $\mathrm{Hom}(X,Z)$.

Для заданого відношення конґруентності $R$ на категорії $C$ можна визначити фактор-категорію $C/R$ як категорію, об'єкти якої з категорії $C$, і морфізми якої — класи еквівалентності морфізмів категорії $C$. Тобто

${\mathrm{Hom}}_{C/R}(X,Y)={\mathrm{Hom}}_C(X,Y)/R_{X,Y}.$

Композиція морфізмів на $C/R$ є Шаблон:Нп, оскільки $R$ є відношенням конґруентності.

Властивості

Існує природній фактор-функторкатегорії $C$ в фактор-категорію $C/R$, який переводить кожен морфізм у його клас еквівалентності. Цей функтор є бієктивним на об'єктах і сюр'єктивним на $\mathrm{Hom}$-множинах (тобто є повним функтором).

Кожний функтор $F:C\to D$ визначає конґруенцію на категорії $C$, тобто $f\sim g$ тоді й лише тоді, коли $F(f)=F(g)$. Тоді функтор $F$ факторизується єдиним чином завдяки фактор-функтору $C\to C/\sim$. Це можна розглядати як першу теорему про ізоморфізм для категорій.

Приклади

• Моноїди і групи можна розглянути як категорії з одного об'єкту. У цьому випадку фактор-категорія збігається з таким поняттям як фактор-моноїд або фактор-група.
• Шаблон:Нп hTop є фактор-категорією простору Top, Шаблон:Нп. Класи еквівалентності морфізмів є гомотопними класами неперервних відображень.
• Нехай $k$ — поле і розгянемо абелеву категорію $\mathrm{Mod}(k)$ усіх векторних просторів над полем $k$ з $k$-лінійними відображеннями як морфізмами. Щоб "знищити" усі скінченновимірні простори, можемо назвати два лінійних відображення $f,g:X\to Y$ конґруентими тоді й лише тоді, коли їх різниця має скінченновимірний образ. В отриманій фактор-категорії усі скінченновимірні векторні простори ізоморфні нулю. (Насправді це приклад адитивних фактор-категорій, див. нижче.)

Суміжні поняття

Адитивні фактор-категорії за ідеалами

Якщо $C$ Шаблон:Нп і відношення конґруентності $\sim$ над $C$ є адитивним (тобто, якщо $f_1,f_2$, $g_1$ і $g_2$ є морфізмами із $X$ в $Y$, причому $f_1\sim f_2$ і $g_1\sim g_2$, тоді $f_1+g_1\sim f_2+g_2$)), тоді фактор-категорія $C/\sim$ також буде адитивною, і фактор-функтор $C\to C/\sim$ також буде адитивним функтором.

Концепція адитивного відношення конґруентності є еквівалентною концепції двостороннього ідеалу морфізмів: для будь-яких об'єктів $X$ і $Y$ задана адитивна підгрупа $I(X,Y)$ з ${\mathrm{Hom}}_C(Y,Z)$ така, що для усіх $f\in I(X,Y)$, $g\in {\mathrm{Hom}}_C(Y,Z)$ і $h\in {\mathrm{Hom}}_C(W,X)$ отримуємо $gf\in I(X,Z)$ і $fh\in I(W,Y)$. Два морфізми із ${\mathrm{Hom}}_C(X,Y)$ є конґруентими тоді й лише тоді, коли їх різниця належить $I(X,Y)$.

Будь-яке унітальне кільце може бути розглянуте як адитивна категорія з одного об'єкту і адитивна фактор-категорія, визначена вище, у цьому випадку збігається з поняттям фактор-кільця за двостороннім ідеалом.

Локалізація категорії

Шаблон:Нп породжує нові морфізми, щоб перетворити деякі мофірзми із вихідної категорії на ізоморфізми. Як правило, це приводить до збільшення кількості морфізмів між об'єктами, а не зменшує їх, як у випадку фактор-категорій. Але в обох конструкціях часто трапляється, що ізоморфними стають два об'єкта, які не були ізоморфізмами в вихідній категорії.

Абелеві фактор-категорії Сере

Шаблон:Нп, що породжується Шаблон:Нп, — це нова абелева категорія, яка подібна до фактор-категорії, але також в багатьох випадках має характер локалізації категорії.

Література

• Mac Lane, Saunders (1998, Categories for the Working Mathematician, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 5 (second ed.), Springer-Verlag.