Задача Бернсайда

Зада́ча Бернса́йда — математична задача в галузі комбінаторики, сформульована Вільямом Бернсайдом у 1902 році. Має наступне формулювання: Чи є Шаблон:Нп , кожен елемент якої має скінченний порядок, обов'язково скінченною групою.

Вона стала однією з найстаріших проблем у теорії груп, що мала дуже важливий вплив на розвиток комбінаторної теорії груп. Відомо, що це питання має негативну відповідь, оскільки у 1964 році Шаблон:Нп та Ігор Шафаревич навели контрприклад. Задача має багато уточнень та варіантів (див. обмеження та послаблення нижче), які відрізняються додатковими умовами, що накладаються на порядок елементів груп та деякі з цих варіантів досі є Шаблон:Нп.

Теорія груп.

Коротка історія

Початкова робота вказувала на те, що гіпотеза має справджуватися. Наприклад, якщо група $G$ є скінченно породженою і порядок кожного елемента групи $G$ є дільником 4, то група $G$ є скінченною. Крім того, у 1958 році Шаблон:Нп вдалося довести, що серед скінченних груп з заданою кількістю генераторів і заданим простим степенем існує найбільша група. Це дає розв'язок послабленої задачі Бернсайда для випадку групи простого степеня. (Пізніше, у 1989 році, Єфиму Зельманову вдалося розв'язати послаблену задачу Бернсайда для групи довільного степеня.) У 1911 році Шаблон:Нп довів, що будь-яка скінченно породжена періодична група, яка є підгрупою групи невироджених $n\times n$ комплексних матриць, буде скінченною. Він використав цю теорему для доведення Шаблон:Нп.

Тим не менш, загальна відповідь щодо гіпотези Бернсайда виявилася негативною. У 1964 році Голод і Шафаревич побудували нескінченну групу типу Бернсайда без припущення, що всі елементи мають рівномірно обмежений порядок. У 1968 році Шаблон:Нп і Сергій Адян запропонували контрприклад для задачі з обмеженим степенем для всіх непарних степенів більших за 4381. У 1982 році Шаблон:Нп знайшов декілька вражаючих контрприкладів для достатньо великих непарних степенів (більших за $10^{10}$) і представив значно простіше доведення з використанням геометричних ідей.

Випадок парних степенів виявився значно важчим. У 1992 році С.В. Іванов анонсував, що задача не має розв'язку для достатньо великих степенів, кратних великим степеням двійки (детальні доведення були опубліковані в 1994 році і займали близько 300 сторінок). Пізніше у спільний роботі Ольшанський та Іванов представили негативний розв'язок до аналогічної задачі Бернсайда для гіперболічних груп, де степінь значно більший. Результатів у випадках, коли степінь групи малий і відрізняється від 2, 3, 4 і 6, відомо дуже мало.

Загальна задача Бернсайда

Група $G$ називається періодичною, якщо кожен елемент має скінченний порядок; іншими словами, для кожного $g$ в групі $G$ існує деяке додатне ціле число $n$ таке, що $g^n=1$. Очевидно, кожна скінченна група є періодичною. Існують легко визначні групи, такі як $p^{\mathrm{\infty }}$-група, які є нескінченними періодичними групами; але остання група не може бути скінченно породженою.

Загальна задача Бернсайда.

Якщо група $G$ є скінченно породженою і періодичною, то чи обов'язково вона скінченна?

Негативну відповідь на це питання отримали в 1964 році Шаблон:Нп та Ігор Шафаревич, які навели приклад нескінченної p-групи, яка є скінченно породженою (див. Шаблон:Нп). Однак, порядки елементів цієї групи не є апріорі обмежені єдиною константою.

Обмежена задача Бернсайда

Частина складності із загальною задачею Бернсайда полягає в тому, що вимоги скінченно породженості і періодичності дають дуже мало інформації про можливу структуру групи. Тому накладемо більше вимог на групу $G$. Розглянемо періодичну групу $G$ з додатковою властивістю, що існує найменше ціле $n$ таке, що для всіх $g\in G$, $g^n=1$. Групу з цією властивістю називають періодичною з обмеженим степенем $n$, або просто групою степеня $n$. Задача Бернсайда для груп з обмеженим степенем запитує:

Задача Бернсайда I.

Якщо група $G$ є скінченно породженою групою степеня $n$, то чи обов'язково група $G$ — скінченна?

Граф Келі для вільної групи Бернсайда рангу 2 і степеня 3.

Виявляється, що цю задачу можна переформулювати як питання про скінченність груп у конкретній сім'ї. Вільна група Бернсайда рангу $m$ і степеня $n$ (позначається $B(m,n)$) є групою з m відомими генераторами $x_1,\dots ,x_m,$ в якій тотожність $x^n=1$ виконується для всіх елементів $x$, та яка є найбільшою групою, що задовольняє ці вимоги. Точніше, характерною властивістю групи $B(m,n)$ є те, що для будь-якої групи $G$ з $m$ твірними $g_1,\dots ,g_m$ та степенем $n$, існує єдиний гомоморфізм з групи $B(m,n)$ у групу $G$, що відображає на $i$-й генератор $x_i$ групи $B(m,n)$ в $i$-й генератор $g_i$ групи $G$. Мовою представлень груп, вільна група Бернсайда $B(m,n)$ має $m$ генераторів $x_1,\dots ,x_m$ і співвідношення $x^n=1$ для будь-якого слова $x\in x_1,\dots ,x_m,$ і будь-яка група $G$ з $m$ генераторами степеня $n$ отримується з неї шляхом накладання додаткових співвідношень. Існування вільної групи Бернсайда та її єдиність з точністю до ізоморфізму встановлюються стандартними методами теорії груп. Таким чином, якщо група $G$ є скінченно породженою групою степеня $n$, то група $G$ є груп гомоморфним образом групи $B(m,n)$, де $m$ — число генераторів групи $G$. Тепер задача Бернсайда може бути переформульована наступним чином:

Задача Бернсайда II.

Для яких натуральних чисел $m$, $n$ вільна група Бернсайда $B(m,n)$ є скінченною?

Повний розв'язок задачі Бернсайда у такому вигляді невідомий. Бернсайд розглянув деякі більш прості випадки у своїй оригінальній роботі:

• група $B(1,n)$ — циклічна група порядку $n$.
• група $B(m,2)$ — прямий добуток m копій циклічної групи порядку 2 а, отже, скінченних.

Відомими є наступні додаткові результати (Бернсайд, Санов, Шаблон:Нп):

• групи $B(m,3)$, $B(m,4)$, та $B(m,6)$ є скінченними для всіх $m$.

Частинний випадок групи $B(2,5)$ залишається відкритим: станом на 2020 рік не було відомо, чи є ця група скінченною.

Прорив у розв'язанні задачі Бернсайда був досягнутий у 1968 році Шаблон:Нп і Сергієм Адяном. Використовуючи складні комбінаторні доведення, вони показали, що для кожного непарного числа $n$ з $n\ge 4381$ існує нескінченна скінченно породжена група степеня $n$. Пізніше Адян покращив оцінку щодо непарного степеня до 665. Останнє покращення оцінки непарного степеня, що дорівнює 101, було отримане Адяном у 2015 році. Випадок парного степеня виявився значно складнішим. Лише у 1994 році С.В. Іванов зміг довести аналог теореми Новікова-Адяна: для будь-якого $m>1$, парного $n\ge 2^{48}$ та $n$ кратного $2^9$, група $B(m,n)$ є нескінченною; разом з теоремою Новікова—Адяна з цього результату випливає нескінченність всіх $m>1$ і $n\ge 2^{48}$. Ця умова була покращена y 1996 році І.Г. Лисеноком до $m>1$ і $n\ge 8000$. Новіков, Адян, Іванов і Лисенок встановили значно більш точні результати щодо структури вільних груп Бернсайда. У випадку непарного степеня доведено, що всі скінченні підгрупи вільних груп Бернсайда є циклічними групами. У випадку парних степенів, кожна скінченна підгрупа міститься у добутку двох діедральних груп та існують нециклічні скінченні підгрупи. Крім того, Шаблон:Нп і Шаблон:Нп були ефективно розв'язані для групи $B(m,n)$ як для випадку непарних, так і парних степенів $n$.

Відомий клас контрприкладів до задачі Бернсайда утворює скінченно породжені нециклічні нескінченні групи у яких кожна нетривіальна власна підгрупа є скінченною циклічною групою, так званими монстрами Тарського. Перші приклади таких груп побудовані y 1979 році Шаблон:Нп з використанням геометричних методів, що дозволило розв'язати задачу О. Ю. Шмідта. У 1982 році Ольшанський зміг покращити свої результати, довівши існування будь-якого достатньо великого простого числа $p$ (можна брати $p>10^{75}$) скінченно породжених нескінченних груп, в яких кожна нетривіальна власна підгрупа є циклічною групою порядку $p$. У статті, опублікованій у 1996 році, Іванов та Ольшанський розв'язали аналог задачі Бернсайда для довільної гіперболічної групи достатньо великого степеня.

Послаблена задача Бернсайда

Сформульована в 1930-х роках, вона задає інше пов'язане питання:

Послаблена задача Бернсайда.

Якщо відомо, що група $G$ з $m$ генераторами і степенем $n$є скінченною, чи можна зробити висновок, що порядок групи $G$ обмежений деякою константою в залежності тільки від $m$ і $n$? Еквівалентно, чи існує з точністю до ізоморфізму скінченна кількість скінченних груп з $m$ генераторами степеня $n$?

Цей варіант задачі Бернсайда можна також сформулювати у термінах деяких універсальних груп з $m$ генераторами і степенем $n$. Відповідно до основних результатів теорії груп перетин двох підгруп скінченного індексу в будь-якій групі сам по собі є підгрупою скінченного індексу. Нехай $M$ — перетин всіх підгруп вільної групи Бернсайда $B(m,n)$, що мають скінченний індекс, тоді $M$ — нормальна підгрупа групи $B(m,n)$ (інакше існує підгрупа $g^{-1}Mg$ зі скінченним індексом, що містить елементи, що не належать $M$). Таким чином, можна визначити групу $B_0(m,n)$ як факторгрупу $B(m,n)$/M. Кожна скінченна група степеня $n$ з $m$ генераторами є гомоморфним образом групи $B_0(m,n)$. Тоді послаблена задача Бернсайда ставить питання, чи є $B_0(m,n)$ скінченною групою.

У випадку простого степеня $p$, ця задача інтенсивно досліджувалася Шаблон:Нп протягом 1950-х років до отримання негативної відповіді щодо загальної задачі Бернсайда. Розв'язок Кострикіна, що встановлював скінченність групи $B_0(m,p)$, використовував співвідношення з глибокими питаннями щодо тотожностей в алгебрі Лі зі скінченними характеристиками. Випадок довільного степеня був повністю позитивно розв'язаний Юхимом Зельмановим, який у 1994 році був нагороджений за цю роботу медаллю Філдса.

Див. також

• Гіпотеза фон Неймана

Література

• S.I. Adian (1979) The Burnside problem and identities in groups. Translated from the Russian by John Lennox and James Wiegold. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete [Results in Mathematics and Related Areas], 95. Springer-Verlag, Berlin-New York. Шаблон:ISBN.
• Шаблон:Cite journal Translation in Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• A.I. Kostrikin (1990) Around Burnside. Translated from the Russian and with a preface by James Wiegold. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)], 20. Springer-Verlag, Berlin. Шаблон:ISBN.
• Шаблон:Cite journal Translation in Шаблон:Cite journal
• A.Yu. Ol'shanskii (1989) Geometry of defining relations in groups. Translated from the 1989 Russian original by Yu. A. Bakhturin (1991) Mathematics and its Applications (Soviet Series), 70. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group. Шаблон:ISBN.
• E. Zelmanov(1990). Solution of the restricted Burnside problem for groups of odd exponent. Izvestiya Rossiiskoi Akademii Nauk. Seriya Matematicheskaya 54 (1): 42–59, 221. Translation in Шаблон:Cite journal
• E. Zelmanov(1991). Solution of the restricted Burnside problem for 2-groups. Matematicheskii Sbornik 182 (4): 568–592. Translation in Шаблон:Cite journal

Примітки

Шаблон:Reflist Шаблон:Без виносок