Відношення

Шаблон:Otheruses Відношення — математична структура, що формально визначає властивості різних об'єктів і їхні взаємозв'язки. Поширеними прикладами відношень у математиці є рівність (=), подільність, подібність, паралельність і багато інших.

Поняття відношення як підмножини декартового добутку формалізовано в теорії множин і набуло широкого поширення в мові математики у всіх її гілках. Теоретико-множинний погляд на відношення характеризує його з точки зору обсягу — якими комбінаціями елементів воно наповнене; змістовний підхід розглядається в математичній логіці, де відношення — пропозиційна функція, тобто вираз з невизначеними змінними, підстановка конкретних значень для яких робить його істинним або хибним. Важливу роль відношення відіграють в універсальній алгебрі, де базовий об'єкт вивчення розділу — множина з довільним набором операцій та відношень. Одне з найяскравіших застосувань техніки математичних відношень в прикладах — реляційні системи керування базами даних, методологічно засновані на формальній алгебрі відношень.

Формальні означення і позначення

$n$ -місним ( $n$ -арним) відношенням $R$ , що задане на множинах $M_{1}, M_{2}, \dots, M_{n}$ , називається підмножина декартового добутку цих множин: $R \subseteq M_{1} \times M_{2} \times \dots M_{n}$ . Факт зв'язку $n$ елементів $⟨ m_{1} \in M_{1}, m_{2} \in M_{2}, \dots m_{n} \in M_{n} ⟩$ відношенням $R$ позначається $R (m_{1}, m_{2}, \dots, m_{n})$ або $(m_{1}, m_{2}, \dots, m_{n}) \in R$ .

Факт зв'язку об'єктів $m_{1} \in M_{1}$ і $m_{2} \in M_{2}$ бінарним відношенням $R \subset M_{1} \times M_{2}$ зазвичай позначають за допомогою інфіксного запису: $m_{1} R m_{2}$ . Одномісні (унарні) відношення відповідають властивостям або атрибутам, як правило, для таких випадків термінологія відношень не використовується. Іноді використовуються тримісні відношення (тернарні), чотиримісні відношення (кватернарні); про відношення невизначено високої арності говорять як про «мультиарні», «багатомісні».

Шаблон:ЯкорьУніверсальне відношення — це відношення, що зв'язує усі елементи заданих множин, тобто, таке, що збігається з декартовим добутком: $R = M_{1} \times M_{2} \times \dots M_{n}$ . Нуль-відношення — відношення, що не зв'язує жодні елементи, тобто порожня множина: $R = \emptyset \subset M_{1} \times M_{2} \times \dots M_{n}$ .

Функціональне відношення — відношення, що утворює функцію: $R \subseteq M_{1} \times M_{2} \times \dots M_{n} \dots M_{n + 1}$ є функціональним, якщо виконання $R (m_{1}, \dots, m_{n}, x)$ та $R (m_{1}, \dots, m_{n}, y)$ має наслідком $x = y$ (це забезпечує єдиність значення функції).

Унарне відношення

При n=1 відношення R⊆M називають одномісним або унарним. Таке відношення часто називають також ознакою або характеристичною властивістю елементів множини M. Кажуть, що елемент a∈M має ознаку R, якщо a∈R і R⊆M.

Бінарне відношення

Докладніше дивись статтю Бінарне відношення

Широко вживаними в математиці та прикладних науках є двомісні або бінарні відношення (тобто відношення з n=2)

Якщо елементи a, b∈M знаходяться в бінарному відношенні R (тобто визначена впорядкована пара (a, b)∈R), то це часто записують у вигляді aRb. Слід зауважити також, що бінарні відношення іноді розглядають, як окремий випадок відповідностей, а саме — як відповідності між однаковими множинами.

Приклади бінарних відношень на множині натуральних чисел N:

R₁ — відношення ≤ («менше або дорівнює»), тоді 4 R₁ 19, 5 R₁ 15 і т. д. для будь-якого m ∈N
R₂ — відношення «ділиться на», тоді 4 R₂ 2, 49 R₂ 7, m R₂ 1 для будь-якого m∈N
R₃ — відношення «є взаємно простими», тоді 15 R₃ 38, 366 R₃ 3121, 1001 R₃ 3612
R₄ — відношення «складаються з однакових цифр», тоді 127 R₄ 4721, 230 R₄ 4302, 3231 R₄ 43213311

Див. також

Джерела

Шаблон:Математична логіка

Відношення

Зміст

Формальні означення і позначення

Унарне відношення

Бінарне відношення

Див. також

Джерела

Навігаційне меню

Відношення

Формальні означення і позначення

Унарне відношення

Бінарне відношення

Див. також

Джерела

Навігаційне меню

Пошук