Розподіл Беніні

Шаблон:Розподіл ймовірностей У імовірності, статистиці, економіці та актуарній науці розподіл Беніні — це неперервний розподіл ймовірності, який є статистичним розподілом розмірів, і який часто застосовується для моделювання доходів, серйозності претензій або втрат в актуарних програмах та інших економічних даних. Його поведінка хвоста спадає швидше, ніж степеневий закон, але повільніше за експоненційний. Цей розподіл був запропонований Родольфо Беніні у 1905 році. Трохи пізніше за оригінальну роботу Беніні, розподіл був незалежно виявлений або описаний кількома авторами.

Розподіл

Розподіл Беніні $\mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}(\alpha ,\beta ,\sigma )$ це трипараметричний розподіл, що має функцію розподілу

$F(x)=1-\exp \{-\alpha (\log x-\log \sigma )-\beta (\log x-\log \sigma {)}^2\}=1-{\left(\frac{x}{\sigma }\right)}^{-\alpha -\beta \log \left(\frac{x}{\sigma }\right)}$

де $x\ge \sigma$, параметри форми α, β > 0, а σ > 0 - параметр масштабу. Для простоти Беніні аналізував лише двопараметральну модель (з α = 0), де функція розподілу задається

$F(x)=1-\exp \{-\beta (\log x-\log \sigma {)}^2\}=1-{\left(\frac{x}{\sigma }\right)}^{-\beta (\log x-\log \sigma )}.$

Густина двопараметричної моделі Беніні записується

$f(x)=\frac{2\beta }{x}\exp \{-\beta {[\log \left(\frac{x}{\sigma }\right)]}^2\}\cdot \log \left(\frac{x}{\sigma }\right),x\ge \sigma >0.$

Моделювання

Двопараметричну випадкову змінну Беніні можна бути згенерувати методом перетворення зворотної ймовірності. Для моделі з двома параметрами квантильна функція (обернена до функції розподілу) записується

$F^{-1}(u)=\sigma \exp \sqrt{-\frac{1}{\beta }\log (1-u)},0<u<1.$

Пов'язані розподіли

• Якщо $X\sim \mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}(\alpha ,0,\sigma )$, то X має розподіл Парето з $x_{\mathrm{m}}=\sigma$
• Якщо $X\sim \mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}(0,\frac{1}{2{\sigma }^2},1),$ тоді $X\sim e^U$ де $U\sim \mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}(\sigma )$

Програмне забезпечення

Густина (двопараметричного) розподілу Беніні, функція розподілу, квантилі і генератор випадкових чисел реалізовано в пакеті VGAM для R, в цьому ж пакеті є можливість знайти параметр форми методом максимальної правдоподібності параметра.

Див. також

• Умовний розподіл
• Спільний розподіл
• Гістограма
• Інтеграл Стілтьєса

Ланки

• Benini Distribution Шаблон:Webarchive at Wolfram Mathematica (definition and plots of pdf) Шаблон:Ref-en