Теорема про монотонний клас

Теорема про монотонний клас — твердження у теорії міри і теорії ймовірностей про рівність монотонного класу і σ-кільця породжених деяким кільцем множин.

Монотонний клас

Монотонним класом підмножин називається клас $ℳ$ підмножин деякої множини $\mathrm{\Omega }$, який є замкнутим щодо операцій зліченного об'єднання і зліченного перетину. А саме:

1. Якщо $A_1,A_2,\dots \in ℳ$ і $A_1\subseteq A_2\subseteq \cdots$ тоді ${\bigcup }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\in ℳ,$
2. Якщо $B_1,B_2,\dots \in ℳ$ і $B_1\supseteq B_2\supseteq \cdots$ тоді ${\bigcap }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_i\in ℳ.$

Твердження теореми

Нехай $ℛ$ є кільцем множин і $m(ℛ)$ позначає монотонний клас породжений цим кільцем тобто $m(ℛ)=\bigcap M(ℛ),$ де перетин береться по всіх монотонних класах $M(ℛ),$ що містять кільце $ℛ.$ Тоді $\sigma (ℛ)=m(ℛ),$ тобто $m(ℛ)$ є рівним σ-кільцю породженому $ℛ$ — перетину всіх σ-кілець, що містять $ℛ.$

Доведення

Нехай спершу $ℛ$ є водночас кільцем і монотонним класом. Тоді $ℛ$ є також σ-кільцем. Справді нехай $A_n\in ℛ,n⩾1$. Тоді із означення кільця випливає, що для кожного $n⩾1$ множина $B_n=\bigcup _{i=1}^n{A}_i\in ℛ.$ Також $B_n\subset B_{n+1}$ для кожного $n⩾1$ і оскільки $ℛ$ є монотонним класом, то ${\bigcup }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_n\in ℛ.$ Але ${\bigcup }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_n={\bigcup }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left({\bigcup }_{i=1}^n{A}_i\right)={\bigcup }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n.$ Тому ${\bigcup }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\in ℛ$ і $ℛ$ є σ-кільцем.

У загальному випадку оскільки кожне σ-кільце є монотонним класом, то $m(ℛ)\subset \sigma (ℛ).$ Для доведення протилежного включення згідно попереднього достатньо довести,що також $m(ℛ)$ є кільцем.

Для довільної множини $E\in m(ℛ)$ позначимо:

$ℒ(E)=\{C\subset \mathrm{\Omega }|E\cup C,E\setminus C,C\setminus E\in m(ℛ)\}.$

Тоді:

1. Для кожного $E\in ℛ:ℛ\subset ℒ(E).$
2. Для кожного $F\in m(ℛ)$ сім'я множин $ℒ(F)$ є монотонним класом.

Перша властивість відразу випливає із того, що $ℛ$ є кільцем і $ℛ\subset m(ℛ)$. Для другої властивості нехай $B_n\in ℒ(F),n⩾1$ і $B_1\subseteq B_2\subseteq \cdots$. Тоді для $n⩾1$ також $(B_n\cup F)\subset (B_{n+1}\cup F),$ $(B_n\setminus F)\subset (B_{n+1}\setminus F)$ і $(F\setminus B_{n+1})\subset (F\setminus B_n).$ Із того, що $F\cup C,F\setminus C,C\setminus F\in m(ℛ)$ і означення монотонного класу також

$\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_n\bigcup F=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(B_n\cup F)\in m(ℛ).$

$\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_n\setminus F=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(B_n\setminus F)\in m(ℛ).$

$F\setminus \bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_n=\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(F\setminus B_n)\in m(ℛ).$

Відповідно $\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_n\in ℒ(F).$ Аналогічно доводиться і випадок перетину спадної послідовності, що доводить властивість 2.Оскільки для довільної множини $E\in ℛ$ згідно другої властивості сім'я множин $ℒ(E)$ є монотонним класом, який згідно першої властивості містить $ℛ,$ то $m(ℛ)\subset ℒ(E).$ Тому для кожної $A_1\in m(ℛ)$ і всіх $E\in ℛ$ також $E\cup A_1,E\setminus A_1,A_1\setminus E$, відповідно для кожної $A_1\in m(ℛ)$ також $m(ℛ)\subset ℒ(A_1).$ Відповідно згідно означень для довільних $A_1,A_2\in m(ℛ)$ множини $A_1\cup A_2,A_2\setminus A_1,A_1\setminus A_2$ теж належать $m(ℛ).$ Відповідно $m(ℛ)$ є кільцем, а тому і σ-кільцем.

Див. також

• Алгебра (теорія множин)
• Кільце множин
• Сигма-алгебра
• Сигма-кільце

Література

• Шаблон:Citation