Теорема Планшереля

Теоремою Планшереля у гармонічному аналізі називається твердження про властивості функцій дійсної змінної і їх перетворень Фур'є. Теорема доведена швейцарським математиком Мішелем Планшерелем у 1910 році.

Твердження теореми

Якщо комплекснозначна функція f, визначена на множині дійсних чисел належить просторам $L^1(ℝ)$ і $L^2(ℝ)$, тоді її перетворення Фур'є, яке є комплекснозначною функцією дійсної змінної, що визначається як:

$\hat{f}(\xi )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)e^{-2\pi i\xi x}dx,$

теж є функцією із $L^2(ℝ)$. До того ж виконується формула Планшереля — Персеваля:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\overline{g(x)}dx=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\hat{f}(\xi )\overline{\hat{g}(\xi )}d\xi ,$

де $f,g$ є двома функціями, що задовольняють вказані умови, а $\hat{f},\hat{g}$ — їх перетвореннями Фур'є.

Зокрема:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|f(x){|}^{2}dx=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|\hat{f}(\xi ){|}^{2}d\xi$.

Одержані таким чином функції $\hat{f}$ утворюють щільну підмножину у $L^2(ℝ)$ і відображення $f\to \hat{f}$ із простору функцій $L^1(ℝ)\cap L^2(ℝ)$ можна продовжити до унітарного оператора на просторі $L^2(ℝ)$.

Доведення формули Планшереля — Персеваля

У випадку коли $f,g$ належать деякому хорошому класу функцій, наприклад є функціями Шварца, можна дати просте доведення формули за допомогою оберненого перетворення Фур'є. У цьому випадку

$g(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\hat{g}(\xi )e^{2\pi i\xi x}d\xi$

і з властивостей комплексного спряження також

$\overline{g(x)}=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\overline{\hat{g}(\xi )}{e}^{-2\pi i\xi x}d\xi .$

Тоді

$\begin{array}{cc}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\overline{g(x)}dx& =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\left(\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\overline{\hat{g}(\xi )}{e}^{-2\pi i\xi x}d\xi \right)dx\\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\overline{\hat{g}(\xi )}{e}^{-2\pi i\xi x}d\xi dx\\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\overline{\hat{g}(\xi )}{e}^{-2\pi i\xi x}dxd\xi \\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)e^{-2\pi i\xi x}dx)\overline{\hat{g}(\xi )}d\xi \\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\hat{f}(\xi )\overline{\hat{g}(\xi )}d\xi .\end{array}$

Див. також

• Перетворення Фур'є
• Теорема Персеваля

Джерела

• Шаблон:Ахієзер.Глазман.ТЛОвГП.т1
• Шаблон:Березанський.Ус.Шефтель
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч2