Кут паралельності

Кут паралельності θ, прямі $𝓍$ і $𝓎$ асимптотично паралельні до прямої $\ell$.

Кут паралельності в гіперболічній геометрії — кут між перпендикуляром до даної прямої і асимптотично паралельною прямою, проведеною з точки, що не лежить на даній прямій.

В евклідовій геометрії кут паралельності завжди прямий.

У гіперболічній геометрії, кут паралельності завжди гострий. На гіперболічній площині з кривиною −1 кут паралельності для точки на відстані $a$ від прямої зазвичай позначається $\mathrm{\Pi }(a)$.

Властивості та співвідношення

• $\mathrm{\Pi }(a)$ є гострим кутом при катеті, рівному $a$, у прямокутному гіперболічному трикутнику, який має дві асимптотичні паралельні сторони.
• $\underset{a\to 0}{\lim }\mathrm{\Pi }(a)=\frac{1}{2}\cdot \pi \text{ и }\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{\Pi }(a)=0.$

• $\sin \mathrm{\Pi }(a)=\mathrm{sech}a=\frac{1}{\mathrm{ch}a}=\frac{2}{e^a+e^{-a}}$

• $\cos \mathrm{\Pi }(a)=\mathrm{th}a=\frac{e^a-e^{-a}}{e^a+e^{-a}}$

• $\mathrm{t}\mathrm{g}\mathrm{\Pi }(a)=\mathrm{csch}a=\frac{1}{\mathrm{sh}a}=\frac{2}{e^a-e^{-a}}$

• $\mathrm{t}\mathrm{g}(\frac{1}{2}\cdot \mathrm{\Pi }(a))=e^{-a},$

• $\mathrm{\Pi }(a)=\frac{1}{2}\cdot \pi -\mathrm{gd}(a),$

де $\mathrm{s}\mathrm{h}$, $\mathrm{c}\mathrm{h}$, $\mathrm{t}\mathrm{h}$, $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}$ і $\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}$ — гіперболічна функція, а $\mathrm{g}\mathrm{d}$ — функція Гудермана.

Історія

Кут паралельності розглядав Лобачевський. Зокрема, він вивів співвідношення

$\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(\frac{1}{2}\cdot \mathrm{\Pi }(a))=e^a.$

Література

• Шаблон:Стаття
• Шаблон:КнигаШаблон:Бібліоінформація