Похідна Діні

В математиці і, зокрема, аналізі дійснозначних функцій, похідними Діні називають клас узагальнень похідної. Поняття запропоноване Уліссом Діні, який вивчав неперервні, але недиференційовні функції, для яких він визначив так звані похідні Діні.

Верхня похідна Діні, яку також називають верхньою правою похідною^[1], неперервної функції

f : ℝ \to ℝ,

позначається $f'_{+}$ і визначається як

f'_{+} (t) = \underset{h \to 0 +}{lim sup} \frac{f (t + h) - f (t)}{h},

де Шаблон:Math — гранична межа, а межа — одностороння межа. Нижня похідна Діні, $f'_{-}$ , визначається як

f'_{-} (t) = \underset{h \to 0 +}{lim inf} \frac{f (t) - f (t - h)}{h},

де Шаблон:Math — нижня межа.

Якщо Шаблон:Math визначено на векторному просторі, то верхня похідна Діні в точці Шаблон:Math у напрямку Шаблон:Math визначається як

f'_{+} (t, d) = \underset{h \to 0 +}{lim sup} \frac{f (t + h d) - f (t)}{h} .

Якщо Шаблон:Math локально ліпшицева, то $f'_{+}$ скінченна. Якщо Шаблон:Math диференційовна в точці Шаблон:Math, то похідна Діні в точці Шаблон:Math є звичайною похідною в точці Шаблон:Math.

Зауваження

Функції визначаються в термінах нижньої і верхньої межі, аби похідні Діні були якомога обґрунтованішими. Так похідні Діні будуть добре визначені для майже всіх функцій, навіть для апріорі недиференційовних функцій. Результат аналізу Діні полягає в тому, що функція диференційована в точці Шаблон:Mvar на дійсній прямій ( Шаблон:Math ), тільки якщо всі похідні Діні існують і мають однакове значення.
Іноді позначення $D^{+} f (t)$ використовується замість $f'_{+} (t)$ і $D_{-} f (t)$ замість $f'_{-} (t)$ ^[1].
також,

D^{+} f (t) = \underset{h \to 0 +}{lim sup} \frac{f (t + h) - f (t)}{h}

і

D_{-} f (t) = \underset{h \to 0 +}{lim inf} \frac{f (t) - f (t - h)}{h}

.

Отже, при використанні Шаблон:Math похідних Діні, знак плюс або мінус вказує на ліву або праву границю, а розміщення знака вказує на нижню або верхню межу.
Існують ще дві похідні Діні, які визначаються як

D_{+} f (t) = \underset{h \to 0 +}{lim inf} \frac{f (t + h) - f (t)}{h}

і

D^{-} f (t) = \underset{h \to 0 +}{lim sup} \frac{f (t) - f (t - h)}{h}

.

які є такими ж, як і перша пара, але з верхньою і нижньою межами, переміщеними. Лише для помірно поганих функцій обидві додаткові похідні Діні не потрібні. Для дуже поганих функцій, якщо всі чотири похідні Діні мають однакове значення ( $D^{+} f (t) = D_{+} f (t) = D^{-} f (t) = D_{-} f (t)$ ), то функція Шаблон:Mvar диференційована в звичайному розумінні в точці Шаблон:Mvar .

На розширеній дійсній прямій всі похідні Діні завжди існують; однак іноді вони можуть набувати значеннь Шаблон:Math або Шаблон:Math (тобто похідні Діні завжди існують у розширеному сенсі).