Формула Маграбе

У фінансовій математиці, формула Маграбе — це одна з формул оцінки опціонів. Її застосовують до опціону на обмін (опціон Маграбе) одного ризикованого активу на інший у момент погашення. Формулу незалежно запропонували Вільям Маграбе і Стенлі Фішер 1978 року.

Визначення

Нехай $S_1(t)$ і $S_2(t)$ — ціни двох ризикованих активів у момент $t$, кожен з них має фіксований неперервний дивіденд рівний $q_i$. Опціон $C$, який ми хочемо оцінити, дає покупцеві право (але не обов'язок) обміняти другий актив на перший у момент погашення $T$. Іншими словами, його виграш $C(T)$ становитиме $\max (0,S_1(T)-S_2(T))$.

Модель ринку Маграбе передбачає тільки існування двох ризикованих активів, чиї ціни дотримуються геометричного броунівського руху. Волатильності цих броунівських рухів не сталі, але важливо, що волатильність $\sigma$ їх відношення $S_1/S_2$ є константою. Зокрема, модель не передбачає існування безризикового активу (такого як облігація з нульовим купоном) або будь-якої норми відсоткової ставки.

Якщо волатильності $S_i$ дорівнюють ${\sigma }_i$, то $\sigma =\sqrt{{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2-2{\sigma }_1{\sigma }_2\rho }$, те $\rho$ — коефіцієнт кореляції броунівських рухів $S_i$.

Формула Маграбе встановлює справедливу ціну опціону в початковий момент часу як:

$e^{-q_{1}T}{S}_1(0)N(d_1)-e^{-q_{2}T}{S}_2(0)N(d_2)$

де через $N$ позначено кумулятивний стандартний нормальний розподіл,

$d_1=\frac{\ln (S_1(0)/S_2(0))+(q_2-q_1+{\sigma }^2/2)T}{\sigma \sqrt{T}}$,

$d_2=d_1-\sigma \sqrt{T}$.

Доведення

Формула доводиться зведенням до формули Блека — Шоулза:

• По-перше, розглянемо обидва активи, оцінені в одиницях $S_2$ (у таких випадках кажуть, що $S_2$ використовується як рахункові гроші), це означає, що одиниця першого активу тепер коштує $S_1/S_2$ одиниць другого активу, а другий актив коштує рівно 1.
• За такого вибору рахункових грошей, другий актив стає безризиковим і його дивідендна ставка $q_2$ збігається з нормою відсоткової ставки. Дохід опціону, перерахований відповідно до зміни рахункових грошей, дорівнює $\max (0,S_1(T)/S_2(T)-1)$.
• Таким чином, вихідний опціон стає кол-опціоном на перший базовий актив (з його рахунковою ціною) ціною страйк рівною 1 одиниці безризикового активу. Зазначимо, що дивідендна ставка $q_1$ першого активу залишається тією ж самою навіть після перерахунку.
• Застосовуючи формулу Блека — Шоулза до цих значень як до відповідних вхідних даних, наприклад, значення початкового активу $S_1(0)/S_2(0)$, відсоткова ставка $q_2$, волатильність $\sigma$ і т. д, отримаємо ціну опціону, виражену в рахункових грошах.
• Оскільки остаточну ціну опціону виражено в одиницях $S_2$, то множення на $S_2(0)$ переведе відповідь у початкові одиниці, тобто звичайну валюту, в якій і отримаємо формулу Маграбе.

Див. також

• Модель Блека — Шоулза
• Модель Блека

Література

• William Margrabe. The Value of an Option to Exchange One Asset for Another. Journal of Finance, 33:177-186, 1978
• Stanley Fischer. Call Option Pricing When the Exercise Price is Uncertain, andthe Valuation of Index Bonds.Journal of Finance, 33:169-176, 1978

Посилання

• The Margrabe Formula, Rolf Poulsen, Centre for Finance, University of Gothenburg Шаблон:Webarchive