Перетворення Чірнхауса

Перетворення Чірнхауса — перетворення многочлена $P(x)$ з коренями $x_1,...,x_n$ в многочлен $Q(x)$ з коренями $\phi (x_1),\dots ,\phi (x_n)$, де $\phi (x)$ — також многочлен. Коефіцієнти $Q$ можуть бути виражені через коефіцієнти $P$ та $\phi$.

Використовується для розв'язання рівнянь 3-го, 4-го степеня і спрощення загального вигляду рівнянь вищих степенів.

Лінійна заміна змінної

Використовуючи формулу бінома Ньютона, алгебричне рівняння

$x^n+a_1{x}^{n-1}+a_2{x}^{n-2}+\dots +a_n=0,n>1,$

заміною $y=x+\frac{a_1}{n}$ можна позбавити від ненульового коефіцієнта при степені $y^{n-1}$.

Так розв'язують квадратне рівняння та приводять кубічне рівняння до зведеної форми.

Рівняння степенів n > 2

В 1683 році німецький математик Еренфрід Вальтер фон Чірнхаус показав квадратичне перетворення:

$y_k=x_k^2+\alpha x_k^1+\beta ,$

що позволяє звільнити рівняня степеня n > 2 від ненульових коефіцієнтів при $y^{n-1}$, $y^{n-2}$.

Рівняння степенів n > 4

Існує перетворення Чірнхауса 4-го степеня:

$y_k=x_k^4+\alpha x_k^3+\beta x_k^2+\gamma x_k+\delta$

що позволяє звільнити рівняня степеня n > 4 від ненульових коефіцієнтів при $y^{n-1}$, $y^{n-2}$ та $y^{n-3}$.

Для n=5 цей результат був отриманий Брінгом в 1786, а для загального випадку Джерардом в 1834.

Після проведення ще однієї додаткової пропорційної заміни змінної, рівняння 5-го, 6-го і 7-го степенів зводились до виду:

$x^5+ax+1=0$,

$x^6+a{x}^2+bx+1=0,$

$x^7+a{x}^3+b{x}^2+cx+1=0$

від одного, двох і трьох параметрів відповідно.

Про розв'язок рівняння 7-го степеня, який є функцією трьох змінних йдеться в 13-ій проблемі Гільберта.

Узагальнення

Докладніше, нехай $K$ – поле, а $P(t)$ – многочлен від $K$. Якщо $P$ є незвідним, то фактор-кільце кільця многочленів $K[t]$ на головний ідеал, породжений $P$,

$K[t]/(P(t))=L$,

є розширення поля $K$. Ми маємо

$L=K(\alpha )$

де $\alpha$ = $t$ modulo $(P)$. Тобто будь-який елемент $L$ є многочленом від $\alpha$, таким чином, є первісним елементом $L$. Інші варіанти $\beta$ первісного елемента в $L$: для будь-якого такого вибору $\beta$ ми матимемо за визначенням:

$\beta =F(\alpha ),\alpha =G(\beta )$,

з многочленами $F$ і $G$ над $K$. Тепер, якщо $Q$ є мінімальним многочленом для $\beta$ над $K$, ми можемо назвати $Q$ перетворенням Чірнхауса $P$.

Тому множину всіх перетворень Чирнгауса незвідного многочлена слід описувати як множину всіх змін $P$, що залишає нерухомим $L$. Існує зв’язок із теорією Галуа, коли $L$ є розширенням Галуа $K$. Тоді групу Галуа можна розглядати як усі перетворення Чирнгауса $P$ до самого себе.

Див. також

• Виділення квадрату

Джерела

• Шаблон:MathWorld