Конгруенція

Конгруенція — відношення еквівалентності на алгебричній структурі, що зберігається за основних операцій. Поняття відіграє важливу роль в універсальній алгебрі: будь-яка конгруенція породжує відповідну фактор-структуру — розбиття початкової алгебричної структури на класи еквівалентності відносно конгруенції.

Визначення

Відношення $\theta (x_1,\dots ,x_m)$ на множині $A$ називають стабільним відносно $n$-арної операції $f$, визначеної на цій множині, якщо для будь-яких елементів $a_{i1},\dots ,a_{im}$ ($i=1,\dots ,n$) множини $A$ з істинності відношень $\theta (a_{i1},\dots ,a_{im})$ ($i=1,\dots ,n$) випливає істинність відношення $\theta (f(a_{11},\dots ,a_{n1}),\dots ,f(a_{1m},\dots ,a_{nm}))$.

Відношення $\theta$ називають конгруенцією на алгебричній системі $𝔄$, якщо воно стабільне відносно кожної з головних операцій системи $𝔄$. (За такого визначення поняття конгруенції не залежить від основних відношень системи $𝔄$.)

Фактор-структура

Шаблон:Main Для алгебричної системи $𝔄=(A,\mathrm{\Phi },\mathrm{P})$ на фактор-множині $A/\theta$ за конгруенцією $\theta \subseteq A^2$ для всіх операцій $f_i\in \mathrm{\Phi }$ і відношень $r_i\in \mathrm{P}$ природним чином вводяться операції і відношення над відповідними класами суміжності:

$f_i^{\star }([a_1{]}_{\theta },\dots ,[a_n{]}_{\theta })=[f_i(a_1,\dots ,a_n){]}_{\theta }$,

$r_i^{\star }([a_1{]}_{\theta },\dots ,[a_m{]}_{\theta })\iff \mathrm{\exists }(b_1\in [a_1{]}_{\theta },\dots ,b_m\in [a_m{]}_{\theta })r_i(b_1,\dots ,b_m)$.

Отримана система позначається $𝔄/\theta$ і називається фактор-структурою, а відображення $h_{\theta }:𝔄\to 𝔄/\theta$, яке визначається правилом $h_{\theta }(a)=[a{]}_{\theta }$ — канонічним епіморфізмом.

Множина всіх конгруенцій даної системи $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}(𝔄)$ утворює повну ґратку відносно операцій об'єднання та перерізу, а також задає відношення включення:

${\theta }_1⩽{\theta }_2\iff \mathrm{\forall }a,b\in Aa{\theta }_{1}b\to a{\theta }_{2}b$.

Шаблон:ЯкірДля будь-якого набору конгруенцій заданої алгебричної системи $\{{\theta }_i,i\in I\}\subseteq \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}(𝔄)$ має місце такий результат (теорема Ремака): фактор-структура за перерізом набору конгруенцій вкладається в прямий добуток фактор-структур за кожною з конгруенцій набору:

$𝒜/\bigcap _{i\in I}{\theta }_i\hookrightarrow \prod _{i\in I}𝔄/{\theta }_i$.

Джерела

• Шаблон:Бурбаки.Алгебра.ч1
• Шаблон:Кон.Универсальная алгебра
• Шаблон:Мальцев.Алгебраические системы
• Шаблон:СМБ.Общая алгебра.т2