Взаємна коваріація

У теорії ймовірностей та статистиці для заданих двох стохастичних процесів $\left\{X_t\right\}$ та $\left\{Y_t\right\}$, взає́мна коваріа́ція (Шаблон:Lang-en) — це функція, яка дає коваріацію одного процесу з іншим у пари моментів часу. За звичайного позначення $\mathrm{E}$ для оператора математичного сподівання, якщо процеси мають функції середнього значення ${\mu }_X(t)=\mathrm{E}[X_t]$ та ${\mu }_Y(t)=\mathrm{E}[Y_t]$, то перехресну коваріацію задають як

${\mathrm{K}}_{XY}(t_1,t_2)=\mathrm{cov}(X_{t_1},Y_{t_2})=\mathrm{E}[(X_{t_1}-{\mu }_X(t_1))(Y_{t_2}-{\mu }_Y(t_2))]=\mathrm{E}[X_{t_1}{Y}_{t_2}]-{\mu }_X(t_1){\mu }_Y(t_2).$

Взаємна коваріація пов'язана із ширше вживаною взаємною кореляцією процесів, про які йде мова.

У випадку двох випадкових векторів $𝐗=(X_1,X_2,\dots ,X_p{)}^{\mathrm{T}}$ та $𝐘=(Y_1,Y_2,\dots ,Y_q{)}^{\mathrm{T}}$ взаємною коваріацією буде матриця ${\mathrm{K}}_{XY}$ розміру $p\times q$ (яку часто позначують через $\mathrm{cov}(X,Y)$) з елементами ${\mathrm{K}}_{XY}(j,k)=\mathrm{cov}(X_j,Y_k).$ Таким чином, термін взаємна коваріація використовують для того, щоб відрізняти це поняття від коваріації випадкового вектора $𝐗$, яку розуміють як матрицю коваріацій між скалярними складовими самого $𝐗$.

В обробці сигналів взаємну коваріацію часто називають взаємною кореляцією, й вона є мірою подібності двох сигналів, яку зазвичай використовують для пошуку ознак (Шаблон:Lang-en) у невідомому сигналі шляхом порівняння його з відомим. Вона є функцією відносного часу між сигналами, іноді носить назву ковзного скалярного добутку (Шаблон:Lang-en), й має застосування в розпізнаванні образів та криптоаналізі .

Взаємна коваріація стохастичних процесів

Визначення взаємної коваріації випадкових векторів можна узагальнити на випадкові процеси наступним чином:

Визначення

Нехай $\{X(t)\}$ та $\{Y(t)\}$ позначують випадкові процеси. Тоді взаємну коваріаційну функцію цих процесів $K_{XY}$ визначають якШаблон:Rp

де ${\mu }_X(t)=\mathrm{E}[X(t)]$, а ${\mu }_Y(t)=\mathrm{E}[Y(t)]$.

Якщо ці процеси є комплекснозначними випадковими процесами, то другий множник потребує комплексного спряження:

${\mathrm{K}}_{XY}(t_1,t_2)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\mathrm{cov}(X_{t_1},Y_{t_2})=\mathrm{E}\left[(X(t_1)-{\mu }_X(t_1))\overline{(Y(t_2)-{\mu }_Y(t_2))}\right]$

Визначення для спільно СШС процесів

Якщо $\left\{X_t\right\}$ та $\left\{Y_t\right\}$ є Шаблон:Нп, то справедливим є наступне:

${\mu }_X(t_1)={\mu }_X(t_2)\triangleq {\mu }_X$ для всіх $t_1,t_2$,

${\mu }_Y(t_1)={\mu }_Y(t_2)\triangleq {\mu }_Y$ для всіх $t_1,t_2$

і

${\mathrm{K}}_{XY}(t_1,t_2)={\mathrm{K}}_{XY}(t_2-t_1,0)$ для всіх $t_1,t_2$

Поклавши $\tau =t_2-t_1$ (запізнювання в часі, Шаблон:Lang-en, або кількість часу, на яку було зміщено сигнал), ми можемо визначити

${\mathrm{K}}_{XY}(\tau )={\mathrm{K}}_{XY}(t_2-t_1)\triangleq {\mathrm{K}}_{XY}(t_1,t_2)$.

Таким чином, взаємна коваріаційна функція двох спільно СШС процесів задається як

що рівнозначне

${\mathrm{K}}_{XY}(\tau )=\mathrm{cov}(X_{t+\tau },Y_t)=\mathrm{E}[(X_{t+\tau }-{\mu }_X)(Y_t-{\mu }_Y)]=\mathrm{E}[X_{t+\tau }{Y}_t]-{\mu }_X{\mu }_Y$.

Некорельованість

Два стохастичні процеси $\left\{X_t\right\}$ та $\left\{Y_t\right\}$ називають некорельо́ваними (Шаблон:Lang-en), якщо їхня коваріація ${\mathrm{K}}_{𝐗𝐘}(t_1,t_2)$ є нульовою для всіх моментів часу.Шаблон:Rp Формально:

$\left\{X_t\right\},\left\{Y_t\right\}$ некорельовані $⟺{\mathrm{K}}_{𝐗𝐘}(t_1,t_2)=0\mathrm{\forall }{t}_1,t_2$.

Взаємна коваріація детермінованих сигналів

Взаємна коваріація також важлива в обробці сигналів, де взаємну коваріацію між двома стаціонарними в широкому сенсі випадковими процесами можливо оцінювати шляхом усереднювання добутку зразків, виміряних за одним процесом, і зразків, виміряних за іншим (та його зсувами в часі). Зразки, включені до усереднювання, можуть бути довільною підмножиною всіх зразків у сигналі (наприклад, зразки в межах скінченного часового вікна, або підвибірка одного з сигналів). За великої кількості зразків це усереднення збігається до істинної коваріації.

Під взаємною коваріацією також можуть мати на увазі «детерміно́вану» взає́мну коваріа́цію (Шаблон:Lang-en) між двома сигналами. Вона складається з підсумовування над усіма часовими індексами. Наприклад, для Шаблон:Нп сигналів $f[k]$ та $g[k]$ взаємну коваріацію визначають як

$(f\star g)[n]\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sum _{k\in \mathbb{Z}}\overline{f[k]}g[n+k]=\sum _{k\in \mathbb{Z}}\overline{f[k-n]}g[k]$

де лінія вказує на взяття комплексного спряження, коли сигнали комплекснозначні.

Для неперервних функцій $f(x)$ та $g(x)$ (детерміновану) взаємну коваріацію визначають як

$(f\star g)(x)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\int \overline{f(t)}g(x+t)dt=\int \overline{f(t-x)}g(t)dt$.

Властивості

(Детермінована) взаємна коваріація двох неперервних сигналів пов'язана зі згорткою через

$(f\star g)(t)=(\overline{f(-\tau )}*g(\tau ))(t)$

а (детермінована) взаємна коваріація двох дискретночасових сигналів пов'язана з Шаблон:Нп через

$(f\star g)[n]=(\overline{f[-k]}*g[k])[n]$.

Див. також

• Автоковаріація
• Автокореляція
• Кореляція
• Згортка
• Взаємна кореляція

Посилання

• Взаємна кореляція від Mathworld Шаблон:Webarchive Шаблон:Ref-en
• http://scribblethink.org/Work/nvisionInterface/nip.html Шаблон:Webarchive Шаблон:Ref-en
• http://www.phys.ufl.edu/LIGO/stochastic/sign05.pdf Шаблон:Webarchive Шаблон:Ref-en
• http://www.staff.ncl.ac.uk/oliver.hinton/eee305/Chapter6.pdf Шаблон:Webarchive Шаблон:Ref-en