Коваріація та кореляція

Математичні поняття коваріа́ції (Шаблон:Lang-en) та кореля́ції (Шаблон:Lang-en) у теорії ймовірностей та статистиці дуже схожі. Обидва описують ступінь, до якого дві випадкові величини або набори випадкових величин схильні відхилятися від своїх математичних сподівань подібним чином.

Якщо X та Y — дві випадкові величини з середніми значеннями (математичними сподіваннями) μ_X та μ_Y і стандартними відхиленнями σ_X та σ_Y відповідно, то їх коваріація та кореляція такі:

коваріація	${\text{cov}}_{XY}={\sigma }_{XY}=E[(X-{\mu }_X)(Y-{\mu }_Y)]$
кореляція	${\text{corr}}_{XY}={\rho }_{XY}=E[(X-{\mu }_X)(Y-{\mu }_Y)]/({\sigma }_X{\sigma }_Y)$,

тож

${\rho }_{XY}={\sigma }_{XY}/({\sigma }_X{\sigma }_Y)$

де E — оператор математичного сподівання. Примітно, що кореляція безрозмірнісна, тоді як коваріація має одиниці, отримувані шляхом множення одиниць цих двох величин.

Якщо Y завжди набуває тих же значень, що й X, ми маємо коваріацію змінної з самою собою (тобто ${\sigma }_{XX}$), яку називають дисперсією й частіше позначують через ${\sigma }_X^2$, квадрат стандартного відхилення. Кореляція змінної з самою собою завжди 1 (крім виродженого випадку, коли ці дві дисперсії дорівнюють нулю, оскільки X завжди набуває одного й того ж єдиного значення, і в цьому випадку кореляції не існує, оскільки її обчислення включатиме ділення на 0). Загалом, кореляція між двома змінними дорівнює 1 (або −1), якщо одна з них завжди набуває значення, яке точно задається лінійною функцією іншої з відповідно додатним (або від'ємним) кутовим коефіцієнтом.

Хоча значення теоретичних коваріацій та кореляцій і пов’язано вищезазначеним чином, розподіли ймовірностей Шаблон:Нп цих величин жодним простим чином не пов’язано, і в загальному випадку їх потрібно розглядати окремо.

Декілька випадкових величин

За будь-якої кількості випадкових величин, що перевищує 1, ці величини можливо об’єднати у випадковий вектор, чий i-й елемент є i-ю випадковою величиною. Тоді дисперсії та коваріації можливо помістити до коваріаційної матриці, в якій елемент (i, j) є коваріацією між i-ю та j-ю випадковими величинами. Аналогічно, кореляції можливо помістити до кореляційної матриці.

Аналіз часових рядів

У випадку часового ряду, що є стаціонарним у широкому сенсі, як середні значення, так і дисперсії є сталими в часі (E(X_n+m) = E(X_n) = μ_X та var(X_n+m) = var(X_n), і так само для змінної Y). У цьому випадку взаємна коваріація та взаємна кореляція є функціями часової різниці:

взаємна коваріація	${\sigma }_{XY}(m)=E[(X_n-{\mu }_X)(Y_{n+m}-{\mu }_Y)],$
взаємна кореляція	${\rho }_{XY}(m)=E[(X_n-{\mu }_X)(Y_{n+m}-{\mu }_Y)]/({\sigma }_X{\sigma }_Y).$

Якщо Y є тією же змінною, що й X, то наведені вище вирази називають автоковаріацією та автокореляцією:

автоковаріація	${\sigma }_{XX}(m)=E[(X_n-{\mu }_X)(X_{n+m}-{\mu }_X)],$
автокореляція	${\rho }_{XX}(m)=E[(X_n-{\mu }_X)(X_{n+m}-{\mu }_X)]/({\sigma }_X^2).$

Джерела

• Шаблон:Карташов.Імовірність процеси статистика
• Шаблон:Гнеденко.Курс теории вероятностей
• Шаблон:Гіхман.Скороход.Ядренко