Раціональна поверхня

Раціональна поверхня — це поверхня, біраціонально еквівалентна проєктивній площині, або, іншими словами, Шаблон:Не перекладено розмірності два. Раціональні поверхні є найпростішими з приблизно 10 класів поверхонь класифікації Енрікеса — Кодайри комплексних поверхонь, і це були перші досліджені поверхні.

Структура

Будь-яку неособливу раціональну поверхню можна отримати неодноразовим роздуттям мінімальної раціональної поверхні. Мінімальними раціональними поверхнями є проєктивна площина і Шаблон:Не перекладено ${\mathrm{\Sigma }}_r$ для $r=0$ або $r\ge 2$.

Інваріанти: Всі Шаблон:Не перекладеноШаблон:Уточнити рівні 0 і фундаментальна група тривіальна.

Ромб Ходжа:

         1
      0     0
   1    1+n    1,
      0     0
         1

де n дорівнює 0 для проєктивної площини, 1 для Шаблон:Не перекладено і більше від 1 для інших раціональних поверхонь.

Шаблон:Не перекладено є непарною унімодулярною ґраткою $I_{1,n}$, за винятком поверхонь Гірцебруха ${\mathrm{\Sigma }}_{2m}$, для яких це парна унімодулярна ґратка _{$I{I}_{1,1}$}.

Теорема Кастельнуово

Гвідо Кастельнуово довів, що будь-яка комплексна поверхня, для якої $q$ і $P_2$ (іррегулярність і другий плюрирод) дорівнюють нулю, є раціональною. Це використовується в класифікації Енрікеса — Кодайри для розпізнавання раціональних поверхонь. ЗарицькийШаблон:Sfn довів, що теорема Кастельнуово істинна також для полів додатної характеристики.

З теореми Кастельнуово випливає також, що будь-яка Шаблон:Не перекладено комплексна поверхня раціональна. Більшість уніраціональних комплексних многовидів розмірності 3 і вище не є раціональними. Для характеристики $p>0$ ЗарицькийШаблон:Sfn знайшов приклад уніраціональних поверхонь (Шаблон:Не перекладено), які не є раціональними.

Деякий час було неясно, чи є комплексні поверхні з нульовими $q$ і $P_1$ раціональними, але Федеріго Енрікес знайшов контрприклад (Шаблон:Не перекладено).

Приклади раціональних поверхонь

• Шаблон:Не перекладено: вкладення степеня 6 проєктивної площини в $P^4$, визначене 10 точками в загальному положенні.
• Шаблон:Не перекладено
• Шаблон:Не перекладено
• Кубічні поверхні. Неособливі кубічні поверхні ізоморфні роздуттю проєктивної площини в 6 точках, і є площинами Фано. Існують іменовані приклади — кубика Ферма, Шаблон:Не перекладено і Шаблон:Не перекладено.
• Шаблон:Не перекладено (поверхні Фано)
• Поверхня Еннепера
• Шаблон:Не перекладено ${\mathrm{\Sigma }}_n$
• $P^1\times P^1$. Добуток двох проєктивних прямих є поверхнею Гірцебруха ${\mathrm{\Sigma }}_0$_.
• Проєктивна площина
• Шаблон:Не перекладено. Перетин двох квадрик. Поверхня ізоморфна проєктивній площині, роздутій у 5 точках.
• Шаблон:Не перекладено. Поверхня в $P^4$ з особливостями, яка біраціональна проєктивній площині.
• Шаблон:Не перекладено, узагальнення поверхонь Бордіга.
• Поверхня Веронезе. Вкладення проєктивної площини в $P^5$.

Див. також

• Шаблон:Не перекладено

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Стаття