Константа Голомба — Дікмана

Шаблон:UniboxУ математиці константа Голомба — Дікмана виникає в теорії випадкових перестановок та в теорії чисел. Її значення дорівнює

$\lambda =0,62432998854355087099293638310083724\dots$ Шаблон:OEIS

Поки невідомо, чи є ця константа раціональною, чи ірраціональною.

Означення

Нехай $a_n$ буде середнім (взятим за всіма перестановками множини з $n$ елементів) значенням довжини найдовшого циклу в кожній перестановці, тоді константа Голомба — Дікмана дорівнює

$\lambda =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{n}.$

Мовою теорії ймовірностей, $\lambda n$ є асимптотою математичного сподівання довжини найдовшого циклу рівномірно розподіленої випадкової перестановки множини з $n$ елементів.

У теорії чисел константа Голомба — Дікмана потрібна у зв'язку із середнім значенням довжини найбільшого простого дільника цілого числа. Більш точно,

$\lambda =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=2}^n\frac{\log (P_1(k))}{\log (k)},$

де $P_1(k)$ — найбільший простий дільник числа $k$. Таким чином, якщо $k$ — $d$-значне ціле число, то $\lambda d$ — асимптота середнього значення кількості знаків найбільшого простого дільника числа $k$.

Константу Голомба — Дікмана можна зустріти в теорії чисел також і в іншій ситуації. Яка ймовірність того, що другий за величиною простий дільник числа $n$ менший від квадратного кореня з найбільшого простого множника числа $n$? Асимптотично ця ймовірність дорівнює $\lambda$, точніше:

$\lambda =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{Prob}\left\{P_2(n)\le \sqrt{P_1(n)}\right\},$

де $P_2(n)$ — другий за величиною простий дільник числа $n$.

Константа Голомба — Дікмана також з'являється у випадку, коли розглядаємо середню довжину найбільшого циклу функції від скінченної множини із значеннями у цій множині. Нехай $X$ — скінченна множина, тоді, якщо ми повторно застосовуємо функцію $f:X\to X$ до будь-якого елементу $X$ цієї множини, то він входить в цикл, і для деякого $k$ маємо: $f^{n+k}(x)=f^n(x)$ при достатньо великому $n$. Найменше $k$ з цією властивістю — довжина циклу. Нехай $b_n$ буде середнім значенням довжини циклу, взятим за всіма функціями від множини розмірності $n$ із значеннями у цій множині. Пурдон і Вільямс довели, що

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{b_n}{\sqrt{n}}=\sqrt{\frac{\pi }{2}}\lambda .$

Формули

Константа $\lambda$ може бути предсталена декількома способами:

$\lambda =\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\mathrm{e}}^{\mathrm{Li}(t)}\mathrm{d}t,$

де $\mathrm{Li}(t)$ — інтегральний логарифм;

$\lambda =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-t-E_1(t))}\mathrm{d}t,$

де $E_1(t)$ — експоненціальний інтеграл;

$\lambda =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\rho (t)}{t+2}\mathrm{d}t$

та

$\lambda =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\rho (t)}{(t+1{)}^2}\mathrm{d}t,$

де $\rho (t)$ — Шаблон:Нп.

Див. також

• Випадкова перестановка
• Шаблон:Нп

Посилання

• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:Cite book