Нерівність Берроу

Нерівність Берроу — це нерівність, яка пов'язує відстані між довільною точкою всередині трикутника, вершинами трикутника та певними точками на сторонах трикутника. Вона названа на честь Шаблон:Нп.

Твердження

Нехай P — довільна точка всередині трикутника ABC. U, V та W точки, де бісектриси кутів BPC, CPA та APB перетинають сторони BC, CA, AB відповідно. Тоді нерівність Берроу стверджує, що

$PA+PB+PC\ge 2(PU+PV+PW),$

причому нерівність перетворюється на рівність лише у випадку рівностороннього трикутника, в якому Р — центр трикутника.

Узагальнення

Нерівність Берроу можна поширити на опуклі многокутники. Якщо точка $P$ є внутрішньою для опуклого многокутника з вершинами $A_1,A_2,\dots ,A_n$ і $Q_1,Q_2,\dots ,Q_n$ перетини бісектрис кутів $\mathrm{\angle }{A}_{1}P{A}_2,\dots ,\mathrm{\angle }{A}_{n-1}P{A}_n,\mathrm{\angle }{A}_{n}P{A}_1$ з відповідними сторонами многокутника $A_1{A}_2,\dots ,A_{n-1}{A}_n,A_n{A}_1$, то виконується така нерівність:

$\sum _{k=1}^n|P{A}_k|\ge \sec \left(\frac{\pi }{n}\right)\sum _{k=1}^n|P{Q}_k|$

Тут $\sec (x)$ позначає функцію секанс. У випадку трикутника $n=3$ і нерівність стає нерівністю Берроу, оскільки $\sec \left(\frac{\pi }{3}\right)=2$.

Історія

Посилення Берроу нерівності Ердеша — Морделла: $\begin{array}{cc}& |PA|+|PB|+|PC|\\ & \ge 2(|P{Q}_a|+|P{Q}_b|+|P{Q}_c|)\\ & \ge 2(|P{F}_a|+|P{F}_b|+|P{F}_c|)\end{array}$

Нерівність Берроу посилює нерівність Ердеша — Морделла, яка має таку ж форму, за винятком PU, PV та PW, замінених трьома відстанями P від сторін трикутника. Її названо на честь Девіда Френсіса Берроу. Доведення цієї нерівності Берроу опублікував 1937 року як розв'язок задачі про доведення нерівності Ердеша — Морделла, опублікованої в Американському математичному щомісячнику. Цей результат названо «нерівністю Берроу» ще в 1961 року.

Простіше доведення відшукав Шаблон:Нп.

Див. також

• Теорема Ейлера в геометрії
• Список нерівностей трикутників

Посилання

• Hojoo Lee: Topics in Inequalities — Theorems and Techniques