Досконалий степінь

Демонстрація паличками Кюїзенера природи досконалого степеня чисел 4, 8 і 9 .

Досконалий степінь — додатне ціле число $n$, що є цілим степенем $k$ додатного цілого числа $m$: $n=m^k$. При $k=2,3$ число $n$ називається відповідно досконалим (повним) квадратом та досконалим кубом. Іноді числа 0 та 1 також вважаються досконалими степенями (оскільки $0^k=0$ і $1^k=1$ для будь-якого $k>0$).

Послідовність досконалих степенів можна сформувати перебором можливих значень для $m$ і $k$; перші кілька її членів (включно з повторюваними):

$2^2=4,2^3=8,3^2=9,2^4=16,4^2=16,5^2=25,3^3=27,$ $2^5=32,6^2=36,7^2=49,2^6=64,4^3=64,8^2=64,\dots$

Перші досконалі степені без дублікатів такі:

(іноді 0 і 1), 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, 1024, …

Властивості

Сума обернених досконалих степенів (включно з дублікатами, такими як $3^4=9^2=81$) дорівнює 1:

$\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m^k}=1$,

що можна довести так:

$\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m^k}=\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m^2}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m^k}=\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m^2}\left(\frac{m}{m-1}\right)=\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m(m-1)}=\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m})=1$.

Сума ряду обернених величин досконалих степенів (за винятком одиниці) без дублікатів дорівнює:

$\sum _i\frac{1}{n_i}=\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\mu (k)(1-\zeta (k))\approx 0,874464368\dots$,

де $\mu (k)$ — функція Мебіуса, а $\zeta (k)$ — дзета-функція Рімана.

Шаблон:ЯкірЗгідно з Ейлером, в одному із загублених листів Гольдбах показав, що сума чисел, обернених до $n_i-1$ із послідовності досконалих степенів $\{n_i\}$ без одиниці і дублікатів дорівнює 1:

$\sum _i\frac{1}{n_i-1}=\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{15}+\frac{1}{24}+\frac{1}{26}+\frac{1}{31}+\cdots =1$,

іноді це твердження називають теоремою Гольдбаха — Ейлера.

2002 року Шаблон:Не перекладено довів, що єдина пара послідовних досконалих степенів — це $2^3=8,3^2=9$, Тим самим довівши гіпотезу Каталана.

Невирішена проблема — гіпотеза Піллаї, згідно з якою для будь-якого заданого додатного цілого числа $k$ існує тільки скінченне число пар досконалих степенів, різниця яких дорівнює $k$.

Виявлення досконалих степенів

Виявити, чи є дане натуральне число $n$ досконалим степенем, можна багатьма способами різного рівня складності. Один із найпростіших способів — розглянути всі можливі значення для $k$ за кожним із дільників числа $n$ аж до $k⩽{\log }_{2}n$. Якщо дільники $n$ рівні $n_1,n_2,\dots ,n_j$, то одне зі значень $n_1^2,n_2^2,\dots ,n_j^2,n_1^3,n_2^3,\dots$ має дорівнювати $n$, якщо $n$ дійсно є досконалим степенем.

Цей метод можна відразу спростити, натомість розглядаючи тільки прості значення $k$, оскільки для складеного $k=ap$, де $p$ — просте число, $n=m^k$ можна переписати як $n=m^k=m^{ap}=(m^a{)}^p$. Звідси випливає, що мінімальне значення $k$ обов'язково має бути простим.

Якщо відома повна факторизація $n$, наприклад, $n=p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\cdots p_r^{{\alpha }_r}$, де $p_i$ — різні прості числа, то $n$ — досконалий степінь тоді і тільки тоді, коли $\gcd ({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_r)>1$ ($\gcd$ — найбільший спільний дільник). Наприклад, для $n=2^{96}*3^{60}*7^{24}$: оскільки $\gcd (96,60,24)=12$, $n$ — це досконалий 12-й степінь (та досконалий 6-й степінь, 4-й степінь, куб та квадрат, оскільки 6, 4, 3 і 2 є дільниками 12).

Посилання

• Lluís Bibiloni, Pelegrí Viader, and Jaume Paradís, On a Series of Goldbach and Euler, 2004 року (Pdf) Шаблон:Webarchive