Теорема Рауха про порівняння

Теорема Рауха про порівняння — фундаментальний результат ріманової геометрії, доведений американським математиком Гаррі Раухом.

Теорема стверджує, що в просторах з більшою секційною кривиною геодезичні лінії сходяться швидше.

Твердження теореми

Нехай $M$ і $\tilde{M}$ є рімановими многовидами із рімановими метриками $g(\cdot ,\cdot )$ і $h(\cdot ,\cdot )$, $\gamma :[0,T]\to M$ і $\tilde{\gamma }:[0,T]\to \tilde{M}$ є геодезичними із одиничною швидкістю і $J,\tilde{J}$ — нормальні ненульові поля Якобі вздовж $\gamma$ і $\tilde{\gamma }$. Нехай також додатково виконуються умови:

1. $\gamma (0)$ і $\tilde{\gamma }(0)$ не мають спряжених точок вздовж $\gamma$ і $\tilde{\gamma }$ на інтервалі $[0,T]$.
2. $J(0)=\tilde{J}(0)=0$.
3. Вектори ${\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(t)}J(0)$ і ${\mathrm{\nabla }}_{\dot{\tilde{\gamma }}(t)}\tilde{J}(0)$ мають однакову довжину у відповідних ріманових метриках (оскільки поля Якобі є ненульовими, то ця довжина є більшою 0).
4. Секційні кривини многовидів $M$ і $\tilde{M}$ у відповідних точках геодезичних ліній всюди задовольняють нерівність $K(\mathrm{\Pi })⩾\tilde{K}(\tilde{\mathrm{\Pi }})$, де $\mathrm{\Pi }\subset T_{\gamma (t)}M$ — довільна 2-площина відповідного дотичного простору, що містить $\dot{\gamma }(t)$, а $\tilde{\mathrm{\Pi }}\subset T_{\tilde{\gamma }(t)}\tilde{M}$ — довільна 2-площина відповідного дотичного простору, що містить $\dot{\tilde{\gamma }}(t)$.

Тоді $g(J(t),J(t))⩽h(\tilde{J}(t),\tilde{J}(t))$ для всіх $t\in [0,T]$.

Доведення

Нехай для простоти позначень $u(t)=g(J(t),J(t)),v(t)=h(\tilde{J}(t),\tilde{J}(t))$ для $t\in [0,T]$. Похідні цих функцій є рівні:

$u^{\prime }(t)=2g(J(t),{\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(t)}J(t)),v^{\prime }(t)=2h(\tilde{J}(t),{\mathrm{\nabla }}_{\dot{\tilde{\gamma }}(t)}\tilde{J}(t)).$

Із відсутності спряжених точок випливає, що $u(t)\ne 0,v(t)\ne 0$ для всіх $t\in (0,T].$ Тому можна ввести функції $\mu (t)=\frac{I_0^t(J)}{u(t)}$ і $\nu (t)=\frac{I_0^t(\tilde{J})}{v(t)},$ де, як у статті поле Якобі для деякого векторного поля $Y$ над геодезичною лінією $\gamma$ позначається:

$I_a^b(Y)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}[g({\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(t)}Y,{\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(t)}Y)-g(R(Y,\dot{\gamma }(t))\dot{\gamma }(t),Y)]dt.$

Із виразів для похідних $u^{\prime }(t),v^{\prime }(t)$ і властивостей полів Якобі описаних у відповідній статті випливають рівності $u^{\prime }(t)=2\mu (t)u(t),v^{\prime }(t)=2\nu (t)v(t).$ Розв'язки цих диференціальних рівнянь для всіх $t\in [\epsilon ,T]$ можна записати як:

$u(t)=u(\epsilon )e^{2\underset{\epsilon }{\overset{t}{\int }}\mu dt},v(t)=v(\epsilon )e^{2\underset{\epsilon }{\overset{t}{\int }}\nu dt}.$

Також $\underset{\epsilon \to 0}{\lim }u(\epsilon )=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }v(\epsilon )=0$ і з запису для похідних також $\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{u}^{\prime }(\epsilon )=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{v}^{\prime }(\epsilon )=0.$ Натомість $\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{u}^{″}(\epsilon )=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }g({\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(\epsilon )}J,{\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(\epsilon )}J)+g(J(\epsilon ),\underset{\dot{\gamma }(\epsilon )}{\overset{2}{\mathrm{\nabla }}}J)=g({\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(0)}J,{\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(0)}J)$

Аналогічно

$\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{v}^{″}(\epsilon )=h({\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(0)}\tilde{J},{\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(0)}\tilde{J}).$

Згідно другої властивості у твердженні теореми ці два вирази є рівними між собою і не рівними нулю, тому $\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{u^{″}(\epsilon )}{v^{″}(\epsilon )}=1$ і тому згідно правила Лопіталя також $\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{u(\epsilon )}{v(\epsilon )}=1.$

Як наслідок $\frac{u(t)}{v(t)}=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{e}^{2\underset{\epsilon }{\overset{t}{\int }}\mu -\nu dt}.$ Звідси для доведення теореми достатньо довести, що $\mu (t)⩽\nu (t)$ для всіх $t\in (0,T].$

Нехай $c\in (0,T]$ — деяка точка і $J^1=\frac{J}{\sqrt{u(c)}},{\tilde{J}}^1=\frac{\tilde{J}}{\sqrt{v(c)}}.$ Векторні поля $J^1$ і ${\tilde{J}}^1$ є полями Якобі над відповідними геодезиками і вони мають одиничну довжину у точках $\gamma (c)$ і $\tilde{\gamma }(c)$.

Нехай $U_t$ і $V_t$ позначають підпростори дотичних просторів у точках $\gamma (t)$ і $\tilde{\gamma }(t)$, що є ортогональними до $\dot{\gamma }(t)$ і $\dot{\tilde{\gamma }}(t).$ Нехай $f_c$ є лінійним ізоморфізмом із $V_c$ у $U_c$ для якого $g(f_c(X),f_c(Y))=h(X,Y),\mathrm{\forall }X,Y\in V_c$ і $J^1(\gamma (c))=f_c({\tilde{J}}^1(\tilde{\gamma }(c))).$ Також позначимо $F_t^c$ (і ${\tilde{F}}_t^c$) оператор паралельного перенесення вздовж геодезичної лінії $\gamma$ із точки $\gamma (c)$ у точку $\gamma (t)$ (відповідно вздовж геодезичної лінії $\tilde{\gamma }$ із точки $\tilde{\gamma }(c)$ у точку $\tilde{\gamma }(t)$). Тоді також можна визначити оператори $f_t$ із $U_t$ у $V_t$ із рівнянь $f_t\circ {\tilde{F}}_t^c=F_t^c\circ f_c.$

Нехай $Z(\gamma (t))=f_t({\tilde{J}}^1(\tilde{\gamma }(t))).$ Оскільки $f_t$ переводить ортонормальну сисмему паралельних векторних полів, то координати $Z$ і ${\tilde{J}}^1$ у відповідних системах є рівними, як і координати ${\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }}Z$ і ${\mathrm{\nabla }}_{\dot{\tilde{\gamma }}}{\tilde{J}}^1.$ Звідси випливає, що $g(Z,Z{)}_{\gamma (t)}=h({\tilde{J}}^1,{\tilde{J}}^1{)}_{\tilde{\gamma }(t)}$ і також $g({\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }}Z,{\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }}Z{)}_{\gamma (t)}=h({\mathrm{\nabla }}_{\dot{\tilde{\gamma }}}{\tilde{J}}^1,{\mathrm{\nabla }}_{\dot{\tilde{\gamma }}}{\tilde{J}}^1{)}_{\tilde{\gamma }(t)}$ для всіх $t\in [0,T].$

Для введених векторних полів справедливими є нерівності:

$I_0^c(J^1)⩽I_0^c(Z)⩽I_0^c({\tilde{J}}^1).$

Перша нерівність випливає із мінімізуючої властивості полів Якобі для $I_0^c$ у статті поле Якобі (оскільки за побудовою $Z_{\gamma (0)}=J_{\gamma (0)}^1=0,Z_{\gamma (c)}=J_{\gamma (c)}^1$), а друга — із властивості 4 у твердженні теореми і означення і властивостей $Z.$ А саме оскільки $g(Z,Z{)}_{\gamma (t)}=h({\tilde{J}}^1,{\tilde{J}}^1{)}_{\tilde{\gamma }(t)}$ і $g(Z,\dot{\gamma }(t))=h({\tilde{J}}^1,\dot{\tilde{\gamma }}(t))=0$, а також $g(\dot{\gamma }(t),\dot{\gamma }(t))=h(\dot{\tilde{\gamma }}(t),\dot{\tilde{\gamma }}(t))=1$ то з $K(Z,\dot{\gamma }(t))⩾\tilde{K}({\tilde{J}}^1,\dot{\tilde{\gamma }}(t))$ випливає, що

$g(R(Z,\dot{\gamma })\dot{\gamma },Z{)}_{\gamma (t)}=K(Z,\dot{\gamma }{)}_{\gamma (t)}\cdot g(Z,Z{)}_{\gamma (t)}⩾h(\tilde{R}({\tilde{J}}^1,\dot{\tilde{\gamma }})\dot{\tilde{\gamma }},{\tilde{J}}^1{)}_{\tilde{\gamma }(t)}=\tilde{K}({\tilde{J}}^1,\dot{\tilde{\gamma }}(t))\cdot h({\tilde{J}}^1,{\tilde{J}}^1{)}_{\tilde{\gamma }(t)}.$

Остаточно нерівність випливає із врахуванням того, що $g({\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }}Z,{\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }}Z{)}_{\gamma (t)}=h({\mathrm{\nabla }}_{\dot{\tilde{\gamma }}}{\tilde{J}}^1,{\mathrm{\nabla }}_{\dot{\tilde{\gamma }}}{\tilde{J}}^1{)}_{\tilde{\gamma }(t)}$ і означення $I_0^c(Z)$ і $I_0^c({\tilde{J}}^1).$

Але $\mu (c)=\frac{I_0^c(J)}{u(c)}=I_0^c(J^1)$ і аналогічно $\nu (c)=\frac{I_0^c(\tilde{J})}{v(c)}=I_0^c({\tilde{J}}^1)$ і з попередньої нерівності $\mu (c)⩽\nu (c).$ Оскільки точка була вибрана довільно, то $\mu (t)⩽\nu (t)$ для всіх $t\in (0,T].$

Наслідки

Нехай $M$ — ріманів многовид, і геодезична лінія $\gamma :[0,T]\to M$ не містить спряжених точок, тоді:

• Якщо секційна кривина многовида $M$ є невід'ємною, то для будь-якого поля Якобі $J$ такого, що $J(0)=0$:

  $|J(t)|⩽|J^{\prime }(0)|\cdot |t|.$

• Якщо секційна кривина $M$ є не меншою 1, то

  $|J(t)|⩽|J^{\prime }(0)|\cdot |\sin t|.$

• Якщо секційна кривина $M$ не більшою -1, то

  $|J(t)|⩽|J^{\prime }(0)|\cdot |\mathrm{sh}t|.$

Див. також

• Поле Якобі
• Спряжені точки

Література

• Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, Мир, 1971, с. 343.
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Cite book Шаблон:Ref-en