Теорема Феєра

У математиці, теорема Феєра, стверджує, що якщо f:R → C є неперервна функція із періодом 2π, тоді послідовність середніх за Чезаро (σ_n) послідовності часткових сум (s_n) ряду Фур'є функції f рівномірно збігається до f на проміжку [-π,π].

Більш детально, якщо:

$s_n(x)=\sum _{k=-n}^n{c}_k{e}^{ikx},$

є частковими сумами ряду Фур'є, де

$c_k=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(t)e^{-ikt}dt,$

і

${\sigma }_n(x)=\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}{s}_k(x)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x-t)F_n(t)dt,$

де F_n позначає ядро Феєра n-го порядку, то послідовність (σ_n) є рівномірно збіжною на проміжку [-π,π] до функції f(x).

Більш загально теорему можна застосувати до функцій які можуть не бути неперервними . Якщо f належить L¹(-π,π) і існують односторонні границі f(x₀±0) функції f(x) у точці x₀ або ці границі є нескінченні із однаковим знаком, то

${\sigma }_n(x_0)\to \frac{1}{2}(f(x_0+0)+f(x_0-0)).$

Згідно теореми Марселя Ріса теорема Феєра також виконується якщо замінити (C, 1)-середнє σ_n (C, α)-середнє рядів Фур'є.

Доведення

Підставляючи коефіцієнти Фур'є у формули для часткових сум одержуються загальні формули:

$s_n(x)=\sum _{k=-n}^n(\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(t)e^{-ikt}dt)e^{ikx}=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(t)\sum _{k=-n}^n{e}^{ik(x-t)}dt=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(t)D_n(x-t)dt.$

Після заміни змінних можна також написати

$s_n(x)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x-t)D_n(t)dt,$

де $D_n(t)$ позначає відповідне ядро Діріхле.

Тоді також

${\sigma }_n(x)=\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n{s}_k(x)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x-t)(\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n{D}_n(t))dt=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x-t)F_n(t)dt,$

де $F_n(t)$ позначає відповідне ядро Феєра.

Далі, враховуючи, що для всіх ядер Феєра $\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{F}_n(t)dt=1,$ також можна записати

${\sigma }_n(x)-f(x)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}(f(x-t)-f(x))F_n(t)dt.$

Оскільки ядро Феєра є невід'ємною функцією, то звідси:

$|{\sigma }_n(x)-f(x)|⩽\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}|f(x-t)-f(x)|F_n(t)dt.$

Оскільки f є неперервною на проміжку [-π,π], то вона є на ньому рівномірно неперервною, тобто для кожного $\epsilon >0$ існує $\delta >0$ таке, що для всіх $|x-y|⩽\delta$ $|f(x)-(y)|<\epsilon /2.$

Інтеграл із останньої рівності можна записати як суму $\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}|f(x-t)-f(x)|F_n(t)dt=I_1+I_2,$ де:

$I_1=\frac{1}{2\pi }\underset{|t|⩽\delta }{\int }|f(x-t)-f(x)|F_n(t)dt$

$I_2=\frac{1}{2\pi }\underset{\pi ⩾|t|⩾\delta }{\int }|f(x-t)-f(x)|F_n(t)dt$

Через рівномірну неперервність функції f і знову використавши рівність $\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{F}_n(t)dt=1,$ для першого інтегралу

$I_1<\frac{1}{2\pi }\underset{|t|⩽\delta }{\int }\epsilon F_n(t)dt=\epsilon$

Для другого інтегралу, якщо позначити $M=\underset{x\in [-\pi ,\pi ]}{\sup }|f(x)|$, то

$I_2⩽\frac{1}{2\pi }\underset{\pi ⩾|t|⩾\delta }{\int }2M{F}_n(t)dt=\frac{M}{\pi }\underset{\pi ⩾|t|⩾\delta }{\int }{F}_n(t)dt$

Згідно властивостей ядра Феєра останній вираз прямує до нуля для великих n, тобто для достатньо великих n:

$I_2⩽\frac{M}{\pi }\underset{\pi ⩾|t|⩾\delta }{\int }{F}_n(t)dt<\epsilon /2.$

Остаточно у цьому випадку

$|{\sigma }_n(x)-f(x)|⩽\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}|f(x-t)-f(x)|F_n(t)dt=I_1+I_2<\epsilon /2+\epsilon /2=\epsilon .$

Тобто ${\sigma }_n(x)$ прямує до $f(x)$ і крім того збіжність є рівномірною оскільки індекс n у доведенні вище був обраний єдиним для всіх $x.$

Див. також

• Ряд Фур'є
• Ядро Діріхле
• Ядро Феєра

Література

• Шаблон:Citation.