Потік Річчі

Потік Річчі — система диференціальних рівнянь, що описує деформацію ріманової метрики на многовиді.

Ця система є нелінійним аналогом рівняння теплопровідності.

Візуалізація потоку Річчі на двовимірній поверхні обертання.

Названий за аналогією з кривиною Річчі, на честь італійського математика Річчі-Курбастро.

Рівняння

Рівняння потоку Річчі має вигляд:

${\partial }_t{g}_t=-2\cdot {\mathrm{R}\mathrm{c}}_t.$

де $g_t$ позначає однопараметричне сімейство ріманових метрик на повному многовиді (залежить від дійсного параметра $t$), і ${\mathrm{R}\mathrm{c}}_t$ — її тензор Річчі.

Властивості

• Формально кажучи, система рівнянь $R$, що задається потоком Річчі, не є параболічним рівнянням. Проте, існує параболічна система рівнянь $R^{\prime }$, запропонована Шаблон:Нп, така, що якщо $g_0$ ріманова метрика на компактному многовиді $M$ і $g_t$, $g{\text{'}}_t$ — розв'язок систем $R$ і $R^{\prime }$, то $(M,g_t)$ ізометричне $(M,{g_t}^{\prime })$ для всіх $t$.
  • Ця конструкція суттєво спростила доведення існування розв'язку, вона називається «трюком Детурка».
• Аналогічно рівнянню теплопровідності (та іншим параболічним рівнянням, задавши довільні початкові умови $t=0$, можна отримати розв'язок лише в один бік $t$, а саме $t⩾0$.
• На відміну від розв'язків рівняння теплопровідності, потік Річчі, як правило, не продовжується необмежено при $t\to \mathrm{\infty }$. Розв'язок продовжується на максимальний інтервал $[0,T)$. У разі якщо $T$ скінченне, за наближення до $T$ кривина многовиду прямує до нескінченності, і в розв'язку формується сингулярність. Саме на дослідженні сингулярностей, в які впираються потоки Річчі, й ґрунтується доведення гіпотези Терстона.
• Псевдолокальність — якщо деякий окіл точки в початковий момент виглядає майже як ділянка евклідового простору, то ця властивість збережеться певний час у потоці Річчі в меншому околі.

Зміна геометричних характеристик

• Для об'єму ${\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}_t$ метрики $g_t$ істинне співвідношення

  $\frac{\partial }{\partial t}(\mathrm{d}{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}_t)=-{\mathrm{R}}_t\cdot (\mathrm{d}{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}_t).$

• Для скалярної кривини ${\mathrm{R}}_t$ метрики $g_t$ істинне співвідношення

  $\frac{\partial }{\partial t}{\mathrm{R}}_t={\mathrm{△}}_t{\mathrm{R}}_t+|{\mathrm{R}\mathrm{c}}_t{|}^2$

де $|{\mathrm{R}\mathrm{c}}_t{|}^2$ визначається як $\sum _{i,j}(\mathrm{R}\mathrm{c}(e_i,e_j){)}^2$ для ортонормованого репера $\{e_i\}$ в точці.

• Зокрема, згідно з принципом максимуму потік Річчі зберігає додатність скалярної кривини.
• Більш того, нижня грань скалярної кривини не спадає.

• Для кожного $g_0$-ортонормованого репера $\{e^i\}$ в точці $x\in M$ існує так званий супутній $g_t$-ортонормований репер $\{e_t^i\}$. Для тензора кривини ${\mathrm{R}\mathrm{m}}_t$, записаного в цьому базисі, істинне співвідношення

  $\frac{\partial }{\partial t}{\mathrm{R}\mathrm{m}}_t={\mathrm{△}}_t{\mathrm{R}\mathrm{m}}_t+Q({\mathrm{R}\mathrm{m}}_t,{\mathrm{R}\mathrm{m}}_t),$

де $Q$ — певна білінійна квадратична форма на просторі тензорів кривини й зі значеннями в них.

• Білінійна квадратична форма $Q$ визначає векторне поле на векторному просторі тензорів кривини — кожному тензору кривини $x$ приписується інший тензор кривини $v_x=Q(x,x)$. Розв'язки ЗДР

$\dot{x}=v_x$

відіграють важливу роль у теорії потоків Річчі.

• Опуклі множини $K$ в просторі тензорів кривини, інваріантні відносно поворотів і такі, що, якщо в наведеному ЗДР $x(0)\in K$, то $x(t)\in K$ за $t\ge 0$, називаються інваріантними для потоку Річчі. Якщо кривина ріманової метрики на замкнутому многовиді в кожній точці належить такому $K$, то це істинне і для метрик, одержуваних з неї потоком Річчі. Міркування такого роду називаються «принципом максимуму» для потоку Річчі.

• До інваріантних множин належать:

• тензори кривини з додатною скалярною кривиною
• тензори кривини з додатним оператором кривини
• у тривимірному випадку, тензори кривини з додатною кривиною Річчі

Розмірність 3

У випадку, коли розмірність простору дорівнює 3, для кожного $x$ і $t$ можна підібрати репер $\{e_t^i\}$, в якому ${\mathrm{R}\mathrm{m}}_t$ діагоналізується в базисі $e_1\wedge e_2$, $e_2\wedge e_3$, $e_3\wedge e_1$, скажімо,

$\mathrm{R}\mathrm{m}=\left(\begin{array}{ccc}\lambda & 0& 0\\ 0& \mu & 0\\ 0& 0& \nu \end{array}\right).$

Тоді

$Q(\mathrm{R}\mathrm{m},\mathrm{R}\mathrm{m})=\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }^2+\mu \cdot \nu & 0& 0\\ 0& {\mu }^2+\nu \cdot \lambda & 0\\ 0& 0& {\nu }^2+\lambda \cdot \mu \end{array}\right).$

Історія

Початок дослідженню потоку Річчі поклав Гамільтон на початку 1980-х. За допомогою потоків Річчі доведено декілька гладких теорем про сферу.

Використовуючи потоки Річчі в своїх статтях, опублікованих протягом 2002—2003 років, Перельману вдалося довести гіпотезу Терстона, провівши тим самим повну класифікацію компактних тривимірних многовидів, і довести гіпотезу Пуанкаре.

Література

• Hamilton, R. S. Three Manifolds with Positive Ricci Curvature // J. Diff. Geom. 17, 255—306, 1982.
• Hamilton, R. S. Four Manifolds with Positive Curvature Operator // J. Diff. Geom. 24, 153—179, 1986.
• Шаблон:Cite arxiv
• Шаблон:Cite arxiv
• Шаблон:Cite arxiv
• Bruce Kleiner, John Lott: Notes and commentary on Perelman's Ricci flow papers (PDF; 1,5 MB), 2008.
• J. Rubinstein, R. Sinclair: Visualizating Ricci Flow on Manifolds of Revolution (PDF; 2,7 MB), 2004.
• Шаблон:Книга