Група кіс

Група кіс — група, що абстрактно описує плетіння кіс. Подібним чином теорія вузлів пов'язана з вузлами.

Групу кіс на Шаблон:Math нитках зазвичай позначають Шаблон:Math.

Історія

Групу кіс уперше явно описав Еміль Артін 1925 року.

Інтуїтивний опис

Розглянемо випадок n = 4, з цього прикладу легко буде зрозуміти, що являє собою довільна група кіс. Розглянемо дві паралельні прямі (на малюнку вони розташовані вертикально), на кожній з яких лежить по чотири пронумеровані точки, так що точки з однаковими номерами знаходяться одна проти одної. Розіб'ємо точки на пари і за допомогою ниток з'єднаємо їх. Якщо зобразити картинку на площині, деякі нитки можуть під іншими (можна вважати, що нитки завжди перетинаються трансверсально). При цьому важливо враховувати порядок проходження ниток у точці перетину:

Шаблон:Nbsp

Шаблон:Nbspвідрізняється відШаблон:Nbsp

З іншого боку, дві такі конфігурації, які можна зробити однаковими, переміщенням ниток, що не зачіпає кінцеві точки, ми вважатимемо однаковими:

Шаблон:Nbsp

Шаблон:Nbspне відрізняється відШаблон:Nbsp

Всі нитки повинні бути напрямлені зліва направо, тобто кожна з ниток може перетинати вертикальну пряму (паралельну до прямих з пронумерованими точками) не більше ніж в одній точці:

Шаблон:Nbsp

Шаблон:Nbsp не є косою.

Для двох кіс можна розглянути їх композицію, намалювавши другу поряд з першою, тобто склеївши відповідні чотири пари кінцевих точок:

Шаблон:NbspШаблон:Nbsp

×

Шаблон:NbspШаблон:Nbsp

=

Шаблон:Nbsp

Множину всіх кіс із 4 ниток позначають Шаблон:Math. Описане з'єднання ниток є груповою операцією.

Група Шаблон:Math — це фактор-множина всіх таких конфігурацій на чотирьох парах точок за відношенням еквівалентності, заданим неперервними перетвореннями площини, на якому зазначеним вище способом задано групову операцію. Ця операція задовольняє всім аксіомам групи; зокрема, нейтральний елемент — клас еквівалентності чотирьох паралельних ниток і для кожного елемента обернений до нього можна отримати симетрією відносно вертикальної прямої.

Визначення

Строго формалізувати наведений вище опис можна кількома способами:

• Геометричний спосіб використовує поняття гомотопії, а саме, Шаблон:Math визначається як фундаментальна група простору Шаблон:Math-точкових підмножин на площині з природною топологією.
• Також можна дати чисто алгебраичний опис, задавши твірні і співвідношення.
  • Наприклад, Шаблон:Math можна задати Шаблон:Math твірною і $\frac{n\cdot (n-1)}{2}$ співвідношеннями:

    $B_n=⟨{\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_{n-1}\mid {\sigma }_i{\sigma }_{i+1}{\sigma }_i={\sigma }_{i+1}{\sigma }_i{\sigma }_{i+1}\text{при}1\le i\le n-2\text{і}{\sigma }_i{\sigma }_j={\sigma }_j{\sigma }_i\text{для}|i-j|\ge 2⟩:$

Зокрема, будь-який елемент Шаблон:Math можна записати як композицію таких трьох елементів (і обернених до них):

Шаблон:Nbsp	Шаблон:Nbsp	Шаблон:Nbsp
Шаблон:Nbspσ1	Шаблон:Nbspσ2	Шаблон:Nbspσ3

Щоб зрозуміти, чому це інтуїтивно очевидно, «проскануємо» картинку, переміщуючи вертикальну пряму зліва направо. Кожен раз, коли Шаблон:Math-а зверху (на даній прямій) нитка проходить під Шаблон:Math-ю, будемо писати Шаблон:Math, а якщо над Шаблон:Math-ю, то Шаблон:Math.

Очевидно, що виконується співвідношення Шаблон:Math, тоді як трохи складніше побачити, що Шаблон:Math (переконатися в цьому найпростіше, намалювавши лінії на аркуші паперу).

Можна довести, що всі співвідношення між елементами групи кіс випливають зі співвідношень такого вигляду.

Властивості

• Група Шаблон:Math тривіальна, Шаблон:Math нескінченна (як і всі наступні групи кіс) і ізоморфна Z, Шаблон:Math ізоморфна групі вузла трилисника.
• Всі елементи Шаблон:Math, крім нейтрального, мають нескінченний порядок; тобто Шаблон:Math не має кручення.
• Існує сюр'єктивний гомоморфізм Шаблон:Math → Шаблон:Math з групи кіс у групу перестановок. Дійсно, кожному елементу групи Шаблон:Math можна зіставити перестановку множини Шаблон:Math вершин, за якої лівому кінцю кожної «нитки» зіставляється правий її кінець.
  • Ядро цього гомоморфізму називається групою фарбованих кіс, вона зазвичай позначається $P_n$.
  • Для груп фарбованих кіс існує коротка точна послідовність

    $F_{n-1}\to P_n\to P_{n-1},$

  де $F_{n-1}$ позначає вільну групу з $n-1$ твірною.

• Групу кіс можна визначити як групу класів відображень диска з виколотими точками. Точніше, група кіс із n нитками природним чином ізоморфна групі класів перетворень диска n виколотими точками.

Література

• Шаблон:Citation
• Birman, Joan, and Brendle, Tara E., «Braids: A Survey», revised 26 February 2005. In Menasco and Thistlethwaite.
• Carlucci, Lorenzo; Dehornoy, Patrick; and Weiermann, Andreas, «Unprovability results involving braids» Шаблон:Webarchive, 23 November 2007
• Kassel, Christian; and Turaev, Vladimir, Braid Groups, Springer, 2008. ISBN 0-387-33841-1
• Menasco, W., and Thistlethwaite, M., (editors), Handbook of Knot Theory, Amsterdam: Elsevier, 2005. ISBN 0-444-51452-X

Посилання

• CRAG: CRyptography and Groups на Algebraic Cryptography Center Містить велику бібліотеку для обчислень за допомогою груп кіс
• P. Fabel, Completing Artin's braid group on infinitely many strands, Journal of Knot Theory and its Ramifications, Vol. 14, No. 8 (2005) 979—991
• P. Fabel, The mapping class group of a disk with infinitely many holes, Journal of Knot Theory and its Ramifications, Vol. 15, No. 1 (2006) 21-29
• Chernavskii, A.V. (2001), «Braid theory», in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Java-застосунок Шаблон:Webarchive, що моделює групу B₅.
• C. Nayak і F. Wilczek про зв'язок проективних груп кіс з дробовим квантовим ефектом Холла[1] Шаблон:Webarchive
• Презентація C. V. Nayak для FradkinFest[2]
• Критика N. Read'ом реальності репрезентації Wilczek-Nayak[3] Шаблон:Webarchive