Сферичний надлишок

Сферичний трикутник

Сфери́чний на́длишок або ексце́с сфери́чного трику́тника — величина в сферичній тригонометрії, яка показує, наскільки сума кутів сферичного трикутника перевищує розгорнутий кут.

Визначення

Позначимо A, B, C радіанні міри кутів сферичного трикутника. Тоді сферичний надлишок

$\epsilon =A+B+C-\pi$

Властивості та обчислення

• Оскільки в будь-якому сферичному трикутнику, на відміну від трикутника на площині, сума кутів завжди більша від π, то надлишок завжди додатний. Зверху він обмежений числом 2π, тобто завжди менший від цього числаШаблон:Rp.
• Для обчислення надлишку сферичного трикутника зі сторонами a, b, c використовується формула Шаблон:НпШаблон:Rp:

$\mathrm{tg}\frac{\epsilon }{4}=\sqrt{\mathrm{tg}\frac{p}{2}\mathrm{tg}\frac{p-a}{2}\mathrm{tg}\frac{p-b}{2}\mathrm{tg}\frac{p-c}{2}},p=\frac{a+b+c}{2}$

• Для обчислення надлишку сферичного трикутника за сторонами a, b і кутом C між ними використовується формулаШаблон:Rp:

$\mathrm{ctg}\frac{\epsilon }{2}=\frac{\mathrm{ctg}\frac{a}{2}\mathrm{ctg}\frac{b}{2}+\cos C}{\sin C}$

Застосування

• Надлишок сферичного трикутника застосовується пвд час обчислення його площі, оскільки $S=R^2\epsilon$ (тут $R$ — радіус сфери, на якій лежить сферичний трикутник, а надлишок виражено в радіанах)Шаблон:Rp.
• Тілесний кут тригранного кута виражається за теоремою Люїльє через його плоскі кути ${\theta }_a,{\theta }_b,{\theta }_c$ при вершині, як:

$\mathrm{\Omega }=4\mathrm{arctg}\sqrt{\mathrm{tg}\left(\frac{{\theta }_s}{2}\right)\mathrm{tg}\left(\frac{{\theta }_s-{\theta }_a}{2}\right)\mathrm{tg}\left(\frac{{\theta }_s-{\theta }_b}{2}\right)\mathrm{tg}\left(\frac{{\theta }_s-{\theta }_c}{2}\right)}$, де ${\theta }_s=\frac{{\theta }_a+{\theta }_b+{\theta }_c}{2}$ — півпериметр.

Через двогранні кути $\alpha ,\beta ,\gamma$ тілесний кут виражається, як:

$\mathrm{\Omega }=\alpha +\beta +\gamma -\pi$

Посилання

• Шаблон:БСЭ 
• Сферичний надлишок Шаблон:Webarchive на сайті MathWorld