Гіпотеза Ферма — Каталана

Гіпотеза Ферма Каталана — теоретико-числова гіпотеза, яка узагальнює велику теорему Ферма і гіпотезу Каталана. Вона стверджує, що рівняння

$a^m+b^n=c^k$

має не більше ніж скінченне число розв'язків $a,b,c,m,n,k$ з різними трійками значень $a^m,b^n,c^k$, де $a,b,c$ — взаємно прості натуральні числа, а $m,n,k$ — натуральні числа, що задовольняють співвідношенню

$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{k}<1.$

Відомі розв'язки

На 2014-й рік відомо всього 10 розв'язків цього рівняння:

$1^m+2^3=3^2$

$2^5+7^2=3^4$

$13^2+7^3=2^9$

$2^7+17^3=71^2$

$3^5+11^4=122^2$

$33^8+1549034^2=15613^3$

$1414^3+2213459^2=65^7$

$9262^3+15312283^2=113^7$

$17^7+76271^3=21063928^2$

$43^8+96222^3=30042907^2$

Розв'язок $1^m+2^3=3^2$ — це єдиний розв'язок, у якому одне з $a,b,c$ дорівнює 1. У цьому полягає гіпотеза Каталана, доведена у 2006 році Шаблон:Не перекладено.

Всі розв'язки знайдено для трійок показників $m,n,k,$ рівних $(2,3,7),(n,n,n),(2,3,8),(2,3,9),(2,4,5),(2,4,6),(3,3,4),(3,3,5),(2,4,7),(2,n,n),(3,n,n),(2n,2n,5),(2,4,n)$.

Часткові результати

За теоремою Фальтингса для будь-яких фіксованих натуральних $m,n,k$, які задовольняють нерівності $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{k}<1$, існує не більше ніж скінченне число трійок $a,b,c$, що задовольняють рівнянню $a^m+b^n=c^k$,Шаблон:Rp але гіпотеза Ферма — Каталана строгіша, оскільки стверджує скінченність числа розв'язків для нескінченної множини трійок $m,n,k$.

abc-гіпотеза тягне гіпотезу Ферма — Каталана.

Гіпотеза Біла полягає в тому, що всі розв'язки рівняння Ферма — Каталана мають один з показників рівний 2.

Посилання

• Шаблон:MathWorld

Література

• Шаблон:Книга