Полярне коло (геометрія)

Полярне коло трикутника - це коло, центр якого збігається з ортоцентром трикутника, а радіус дорівнює

\begin{matrix} r^{2} & = H A \times H D = H B \times H E = H C \times H F \\ = - 4 R^{2} \cos A \cos B \cos C = 4 R^{2} - \frac{1}{2} (a^{2} + b^{2} + c^{2}), \end{matrix}

де A, B, C означають як вершини, так і відповідні кути, а точка H - ортоцентр (перетин висот). Точки D, E і F є основами висот, опущених з вершин A, B і C відповідно, R - радіус описаного кола, а a, b і c - довжини сторін трикутника, протилежних вершинам A, B і C відповідно Шаблон:Sfn .

Перша частина формули відбиває факт, що ортоцентр ділить висоти на відрізки, добутки яких рівні. Тригонометрична частина формули показує, що полярне коло існує тільки в разі, коли трикутник є тупокутним, так що один з косинусів від'ємний.