Коефіцієнт зачеплення

Коефіцієнт зачеплення — ціле або дробове число, що зіставляється двом циклам $z^{k-1}$ і $z^{n-k}$, які не перетинаються, в орієнтованому многовиді $M$ розмірності $n$, класи гомологій яких належать підгрупам кручення в цілочисельних гомологіях $H_{k-1}(M,\mathbb{Z})$ і $H_{n-k}(M,\mathbb{Z})$ відповідно.

Найпростішим прикладом є коефіцієнт зачеплення двох замкнутих кривих $L_1,L_2$, що не перетинаються, простору ${ℝ}^3$: він дорівнює Шаблон:Нп $\varphi :L_1\times L_2\to S^2$ визначається як

$\varphi (x,y)=(y-x)/|y-x|,x\in L_1,y\in L_2$.

Коефіцієнт зачеплення не змінюється під час неперервних деформацій кривих, якщо протягом цієї деформації криві не перетинаються, тобто є інваріантом цього зачеплення. Якщо натягнути на одну криву орієнтовану поверхню, то індекс перетину буде дорівнювати кількості точок перетину першої кривої з цією поверхнею взятих з відповідними знаками.

Аналогічно визначається коефіцієнт зачеплення в разі замкнених орієнтованих многовидів $M^{k-1}$ та $M^{n-k}$, розташованих у просторі ${ℝ}^n$.

В загальному випадку коефіцієнт зачеплення визначається через Шаблон:Нп наступним чином: Якщо $C^k$ є $k$-вимірний ланцюг для якого $\partial C^k=a{z}^{k-1}$і $b$ є індекс перетину $C^k$ з $z^{n-k}$, то індекс зачеплення дорівнює $b/a$. Це число не залежить від вибору плівки $C^k$.

Популярне визначення

Коефіцієнт зачеплення двох орієнтованих контурів x і y, які не перетинаються один з одним, визначається як сума коефіцієнтів зачеплення по всіх подвійних точках проєкції контура $y$ на контур $x$ і на деяку площину. Для кожної подвійної точки коефіцієнт зачеплення дорівнює $1$, якщо під час руху в напрямку контура $x$ контур $y$ перетинає його зліва направо і $-1$, якщо контур $y$ перетинає його справа наліво. Якщо перетинаються дві ділянки одного й того ж контура або контур x проходить вище контура y, подвійній точці приписується коефіцієнт зачеплення $0$Шаблон:Sfn.

Властивості

• Якщо поміняти ролями цикли $z^{k-1}$ і $z^{n-k}$, то коефіцієнт зачеплення помножиться на $(-1{)}^{k(n-k)}$.
• Якщо замінити будь-який з циклів гомологічним йому в додатку до іншого, то коефіцієнт зачеплення не зміниться. Цей факт є основою при інтерпретації Шаблон:Нп за допомогою зачеплень.
• Якщо замінити один із циклів будь-яким гомологічним з ним, коефіцієнт зачеплення зміниться на ціле число, завдяки чому визначено парування підгруп кручення в $H_{k-1}(M,Z)$ і $H_{n-k}(M,Z)$ зі значеннями у факторгрупі $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$. Це парування встановлює між ними дуальність Понтрягіна.
  • Зокрема, для підгрупи кручення в $H_m(M,\mathbb{Z})$ у випадку $n=2m+l$ цим задається білінійна форма самозачеплень зі значеннями $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ яка є гомотопічним інваріантом многовиду.

Література

• Шаблон:Книга