Скручений вузол

Скручений вузол з шістьма півобертами.

В теорії вузлів скручений вузол — це вузол, отриманий шляхом перекручування замкнутої петлі з подальшим зачепленням кінців (таким чином, скручений вузол — це будь-яке подвійне зачеплення Вайтгеда тривіального вузла). Скручені вузли є нескінченним сімейством вузлів і вважаються найпростішим типом вузлів після торичних вузлів.

Побудова

Скручений вузол отримують шляхом зачеплення двох кінців скрученої петлі. До зачеплення можна зробити будь-яку кількість півобертів, що дає нескінченне сімейство. На малюнках показано кілька перших скручених вузлів:

• 
  Один півоберт (трилисник)
• 
  Два півоберти (вісімка)
• 
  Три півоберти (5₂)
• 
  Чотири півоберти (вузол вантажника)
• 
  П'ять півобертів (7₂)
• 
  Шість півобертів (8₁)

Властивості

Вузол вантажника на чотири півоберти утворюється шляхом (само-)зачеплення одного кінця петлі, скрученої на два оберти, з іншим кінцем петлі.

Всі скручені вузли мають число розв'язування 1, оскільки вузол можна розв'язати, роз'єднавши два кінці. Будь-який скручений вузол є також Шаблон:НпШаблон:Sfn. З усіх скручених вузлів тільки тривіальний вузол і вузол вантажника є зрізаними. Скручений вузол c $n$ півобертами має число перетинів $n+2$. Всі скручені вузли є оборотними, але ахіральними скрученими вузлами є тільки тривіальний вузол і вісімка.

Інваріанти

Інваріанти скручених вузлів залежать від числа $n$ півобертів. Многочлен Александера скрученого вузла задається формулою

$\mathrm{\Delta }(t)=$

$\frac{n+1}{2}t-n+\frac{n+1}{2}{t}^{-1}$ для парних n,

$-\frac{n}{2}t+(n+1)-\frac{n}{2}{t}^{-1}$ для непарних n, а многочлен Конвея дорівнює

$\mathrm{\nabla }(z)=$

$\frac{n+1}{2}{z}^2+1$ для парних n,

$1-\frac{n}{2}{z}^2$ для непарних n.

Якщо $n$ непарне, многочлен Джонса дорівнює

$V(q)=\frac{1+q^{-2}+q^{-n}-q^{-n-3}}{q+1},$

при парному ж $n$

$V(q)=\frac{q^3+q-q^{3-n}+q^{-n}}{q+1}.$

Література

• Шаблон:Книга