Слід матриці

Шаблон:Значення Слід матриці — операція, що відображає простір квадратних матриць у поле, над яким визначена матриця (див. функціонал).

Слід матриці — це сума усіх її діагональних елементів, тобто якщо $a_{ij}$ елементи матриці $A$, її слід дорівнює:

$\mathrm{t}\mathrm{r}A=\mathrm{S}\mathrm{p}A=\sum _i{a}_{ii}.$

В математичних текстах зустрічається два позначення операції взяття сліду: $\mathrm{t}\mathrm{r}A$ (трейс, від Шаблон:Lang-en — слід), і $\mathrm{S}\mathrm{p}A$ (шпур, від Шаблон:Lang-de — слід).

Властивості

• Лінійність

$\mathrm{t}\mathrm{r}(\alpha A+\beta B)=\alpha \mathrm{t}\mathrm{r}A+\beta \mathrm{t}\mathrm{r}B$

• Циклічність

$\mathrm{t}\mathrm{r}(AB)=\mathrm{t}\mathrm{r}(BA)$,

$\mathrm{t}\mathrm{r}(ABC)=\mathrm{t}\mathrm{r}(BCA)=\mathrm{t}\mathrm{r}(CAB)$

$\mathrm{t}\mathrm{r}A=\mathrm{t}\mathrm{r}{A}^T$,

де T означає операцію транспонування.

• Слід подібних матриць однаковий

$\mathrm{tr}(P^{-1}AP)=\mathrm{tr}(AP{P}^{-1})=\mathrm{tr}(A)$

• Якщо $A\otimes B$ добуток Кронекера матриць A та B, то

$\mathrm{t}\mathrm{r}A\otimes B=(\mathrm{t}\mathrm{r}A)(\mathrm{t}\mathrm{r}B)$

• Слід матриці дорівнює сумі її власних значень.

• $f(\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{A}\mathrm{)}\mathrm{=}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{(}\mathrm{f}\mathrm{(}\mathrm{A}\mathrm{)}\mathrm{)}\mathrm{.}$

Внутрішній добуток

Для матриці A розміром m на n з комплексними (чи дійсними) елементами, де A^* позначає ермітово спряжену матрицю, маємо нерівність

$\mathrm{tr}(A^{*}A)\ge 0$

яка перетворюється в рівність тоді і тільки тоді коли $A=0$. Присвоєння

$⟨A,B⟩=\mathrm{tr}(A^{*}B)$

дає внутрішній добуток на просторі всіх комплексних (чи дійсних) матриць розміру m на n.

Норму яку отримують з вищенаведеного внутрішнього добутку називають нормою Фробеніуса, яка задовільняє властивість субмультиплікативності для норм матриць. Справді, це просто Евклідова норма якщо вважати матрицю вектором довжини mn.

Якщо A і B дійсні додатнонапівозначені матриці однакового розміру, то виконується рівність

$0\le [\mathrm{tr}(AB){]}^2\le \mathrm{tr}(A^2)\mathrm{tr}(B^2)\le [\mathrm{tr}(A){]}^2[\mathrm{tr}(B){]}^2$

Її можна довести використавши нерівність Коші — Буняковського.

Див. також

• Теорія матриць
• Визначник матриці
• Ранг матриці

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць