Кофібрація

У математиці, зокрема алгебричній топології неперервне відображення називається кофібрацією (кофібрацією Гуревича або корозшаруванням), якщо воно задовольняє властивість розширення гомотопії для всіх топологічних просторів. Поняття кофібрації визначене як для загальних просторів так і для просторів із виділеною точкою.

Означення

Неперервне відображення $i:A\to X$ називається кофібрацією, якщо для всіх топологічних просторів Y і неперервних відображень

$f:X\to Y,h:A\times [0,1]\to Y$

для яких

$f\circ i=h\circ i_0$ на просторі A

(де $i_0(x)=(x,0)$ позначає включення $i_0:A\to A\times [0,1]$) існує продовження гомотопії

$\bar{h}:X\times [0,1]\to Y$

тобто

$\bar{h}\circ (i\times id)=h$

і

$\bar{h}{|}_{X\times \{0\}}=f\circ {\pi }_X$

(де ${\pi }_X:X\times \{0\}\to X$ є проєкцією).

Якщо розглядати простори із виділеними точками і відображення між ними, то в означенні усі гомотопії мають зберігати виділені точки.

Якщо $i:A\to X$ є включенням $A\subset X$ (а це насправді є справедливим для всіх кофібрацій) то воно є кофібрацією тоді і тільки тоді коли відображення

$p:X\times [0,1]\to A\times [0,1]\cup X\times \left\{0\right\}$

є ретракцією.

Приклади

• Включення гіперсфери у кулю відповідної розмірності

$S^{n-1}\to D^n$

є кофібрацією.

• Для будь-якого CW-комплекса включення підкомплекса є кофібрацією.

Властивості

• Довільна кофібрація $f:A\to X$ є ін'єкцією і гомеоморфізмом на образ відображення. Тобто кожна кофібрація є включенням підпростору.

Нехай $M_f$ є циліндром відображення. Нехай $H_t:A\to M_f$ є гомотопією при якій образом $(a,t)$ є образ цієї точки у $M_f.$ Нехай також ${\overline{H}}_0:X\to M_f$ є включенням простору X у циліндр відображення. Згідно властивості кофібрації тоді існує гомотопія ${\overline{H}}_t:X\to M_f$ для якої ${\overline{H}}_t\circ f=H_t.$ Оскільки для довільного t > 0 відображення $H_t$ є ін'єктивним, то і $f$ є ін'єкцією. Окрім того у цьому випадку $H_t$ є гомеоморфізмом на $A\times t$ і $H_t^{-1}\circ {\overline{H}}_t$ є неперервним відображенням оберненим до f. Тож f є гомеоморфізмом між A і f(A).

• Як показано у статті Властивість розширення гомотопії, якщо додатково простір X є гаусдорфовим, то також f(A) є замкнутим підпростором у X.
• Якщо включення $f:A\to X$ є кофібрацією, то конус відображення $C_f$ є гомотопно еквівалентним фактор-простору $X/A$ і

$H_{*}(X,A)=H_{*}(C_f)=H_{*}(X/A)$.

• Як продемонстровано у статті Циліндр відображення, кожне неперервне відображення $f:X\to Y$ є композицією $X\stackrel{\overline{f}}{\to }{M}_f\stackrel{h}{\to }Y,$ де $\overline{f}$ є кофібрацією, а $h$ — гомотопною еквівалентністю. Таким чином для топологічних властивостей які не залежать від гомотопно еквівалентних просторів чи відображень, ці властивості можна перевіряти лише для кофібрацій, а не усіх відображень.

Див. також

• Властивість розширення гомотопії
• Циліндр відображення

Література

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation
• Whitehead, George W.: Elements of homotopy theory. Graduate Texts in Mathematics, 61. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1978. ISBN 0-387-90336-4