Таблиця похідних

Шаблон:Числення Знаходження похідної є найважливішою операцією у диференціальному численні.

У цій статті наведені правила диференціювання та список похідних основних функцій, яких достатньо для диференціювання будь-якої елементарної функції.

У нижчеподаних формулах

$x$ — змінна,

$f$ — функція цієї змінної,

$u$ і $v$ — довільні функції, що диференціюються,

$c$ — константа.

Загальні правила

Константа

${\left(c\cdot f\right)}^{\prime }=c\cdot f^{\prime }$, де $c=\text{const}$

Похідна суми й різниці функцій

$\left(u+v\right)=u^{\prime }+v^{\prime }$

$\left(u-v\right)=u^{\prime }-v^{\prime }$

Похідна добутку й частки функцій

$\left(u\cdot v\right)=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$

$\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2},v\ne 0$

Похідна складеної функції

$(u(v(x)){)}^{\prime }={u_v}^{\prime }(v)\cdot {v_x}^{\prime }(x)$

Похідна оберненої функції

$(f^{-1}{)}^{\prime }=\frac{1}{f^{\prime }\circ f^{-1}}$

Список

Похідні простих функцій

$\left(c\right)=0$

$\left(x\right)=1$

$\left(cx\right)=c$

$|x{|}^{\prime }=\frac{x}{|x|}=\mathrm{sgn}x,x\ne 0$

$\left(x^c\right)=c{x}^{c-1}$, де $\left(x^c\right)$ та $\left(x^{c-1}\right)$ — визначені

Зокрема:

$\left(\frac{1}{x^c}\right)=\frac{d}{dx}\left(x^{-c}\right)=-\frac{c}{x^{c+1}}$

$\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{d}{dx}\left(x^{-1}\right)=-\frac{1}{x^2}$

$\left(\sqrt{x}\right)=\frac{d}{dx}{x}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}},x>0$

Похідні від показникових і логарифмічних функцій

$\left(e^x\right)=e^x$	$(\ln x)=\frac{1}{x}$
$\left(a^x\right)=a^x\ln a,a>0$	$\left({\log }_{a}x\right)=\frac{1}{x\ln a},a>0,a\ne 1$
$\left(e^{ax}\right)=a{e}^{ax}$

Похідні від тригонометричних функцій

Прямих	Обернених
$(\sin x)=\cos x$	$(\arcsin x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$(\cos x)=-\sin x$	$(\arccos x)=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$
$(\mathrm{tg}x)=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$	$(\mathrm{arctg}x)=\frac{1}{1+x^2}$
$(\sec x)=\frac{\sin x}{{\cos }^{2}x}=\mathrm{tg}x\sec x$	$(\mathrm{arcsec}x)=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$
$(\mathrm{ctg}x)=\frac{-1}{{\sin }^{2}x}$	$(\mathrm{arcctg}x)=\frac{-1}{1+x^2}$
$(\mathrm{cosec}x)=-\frac{\cos x}{{\sin }^{2}x}=-\mathrm{ctg}x\mathrm{cosec}x$	$(\mathrm{arccosec}x)=\frac{-1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

Похідні від гіперболічних функцій

Прямих	Обернених
$(\mathrm{sh}x)=\mathrm{ch}x$	$(\mathrm{arsh}x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$
$(\mathrm{ch}x)=\mathrm{sh}x$	$(\mathrm{arch}x)=\frac{-1}{\sqrt{x^2-1}}$
$(\mathrm{th}x)={\mathrm{sch}}^{2}x$	$(\mathrm{arth}x)=\frac{1}{1-x^2}$
$(\mathrm{sech}x)=-\mathrm{th}x\mathrm{sech}x$	$(\mathrm{arsech}x)=\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}$
$(\mathrm{cth}x)=-{\mathrm{csch}}^{2}x$	$(\mathrm{arcth}x)=\frac{1}{1-x^2}$
$(\mathrm{csch}x)=-\mathrm{cth}x\mathrm{csch}x$	$(\mathrm{arcsch}x)=\frac{-1}{|x|\sqrt{1+x^2}}$

Джерела

• Шаблон:Двайт-таблиці
• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Клепко ВМ
• Шаблон:Бронштейн-Семендяєв-1986