Фібономіальний коефіцієнт

У математиці фібономіальні коефіцієнти або біноміальні коефіцієнти Фібоначчі визначаються як

{(\binom{n}{k})}_{F} = \frac{F_{n} F_{n - 1} \dots F_{n - k + 1}}{F_{k} F_{k - 1} \dots F_{1}} = \frac{n!_{F}}{k!_{F} (n - k)!_{F}}

,

де $n$ і $k$ — це невід'ємні цілі числа, $0 \leq k \leq n$ , $F_{j}$ — $j$ -е число Фібоначчі, а $n!_{F}$ — факторіал Фібоначчі числа $n$ , тобто

{n!}_{F} : = \prod_{i = 1}^{n} F_{i},

де $0!_{F}$ — порожній добуток, що дорівнює 1.

Частинні значення

Фібономіальні коефіцієнти — це натуральні числа. Деякі частинні значення:

{(\binom{n}{0})}_{F} = {(\binom{n}{n})}_{F} = 1

,

{(\binom{n}{1})}_{F} = {(\binom{n}{n - 1})}_{F} = F_{n}

,

{(\binom{n}{2})}_{F} = {(\binom{n}{n - 2})}_{F} = \frac{F_{n} F_{n - 1}}{F_{2} F_{1}} = F_{n} F_{n - 1},

{(\binom{n}{3})}_{F} = {(\binom{n}{n - 3})}_{F} = \frac{F_{n} F_{n - 1} F_{n - 2}}{F_{3} F_{2} F_{1}} = F_{n} F_{n - 1} F_{n - 2} / 2,

{(\binom{n}{k})}_{F} = {(\binom{n}{n - k})}_{F} .

Фібономіальний трикутник

Фібономіальні коефіцієнти (Шаблон:OEIS) подібні до біномінальних коефіцієнтів і їх можна представити у вигляді трикутника, що подібний трикутнику Паскаля.

Ось перші рядки:


$n = 0$								1
$n = 1$							1		1
$n = 2$						1		1		1
$n = 3$					1		2		2		1
$n = 4$				1		3		6		3		1
$n = 5$			1		5		15		15		5		1
$n = 6$		1		8		40		60		40		8		1
$n = 7$	1		13		104		260		260		104		13		1

З рекурентного співвідношення

{(\binom{n}{k})}_{F} = F_{n - k + 1} {(\binom{n - 1}{k - 1})}_{F} + F_{k - 1} {(\binom{n - 1}{k})}_{F}

випливає, що фібономіальні коефіцієнти завжди натуральні числа.

Фібономіальні коефіцієнти можна представити у термінах біноміальних коефіцієнтів Гауса та числа золотого перетину $φ = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ :

{(\binom{n}{k})}_{F} = φ^{k (n - k)} {(\binom{n}{k})}_{- 1 / φ^{2}}

.

Застосування

Дов Джарден довів, що фібономіальні коефіцієнти з'являються як коефіцієнти рівняння, що містять степені послідовних чисел Фібоначчі, а саме Джерден довів, що будь-яка узагальнена послідовність Фібоначчі $G_{n}$ , тобто послідовність, яка визначається рекурентним співвідношенням $G_{n} = G_{n - 1} + G_{n - 2}$ для кожного $n$ , задовольняє рівняння

\sum_{j = 0}^{k + 1} (- 1)^{j (j + 1) / 2} {(\binom{k + 1}{j})}_{F} G_{n - j}^{k} = 0,

для кожного цілого числа $n$ , і для кожного невід'ємного цілого числа $k$ .

Список літератури

Шаблон:Reflist

Шаблон:Citation
Ewa Krot, An introduction to finite fibonomial calculus, Institute of Computer Science, Bia lystok University, Poland.
Шаблон:MathWorld
Dov Jarden, Recurring Sequences (second edition 1966), pages 30–33.

Шаблон:Ізольована стаття

Фібономіальний коефіцієнт

Зміст

Частинні значення

Фібономіальний трикутник

Застосування

Список літератури

Навігаційне меню

Фібономіальний коефіцієнт

Частинні значення

Фібономіальний трикутник

Застосування

Список літератури

Навігаційне меню

Пошук