Функціональне рівняння Коші

Функціональне рівняння Коші — функціональне рівняння лінійної незалежності: $f(x+y)=f(x)+f(y).$

Розв'язок, що задовольняє цьому рівнянню, називають Шаблон:Не перекладено функціями.

З використанням елементарної алгебри можна показати, що в раціональних числах є єдина сім'я розв'язків, а саме $f:x\mapsto cx$, де $c$ — довільна раціональна константа. Над полем дійсних чисел $f:x\mapsto cx$, де $c$ — довільна дійсна константа, також є сім'єю розв'язків, але можуть бути інші розв'язки, які є надзвичайно складними. Але будь-яка з регулярних умов, деякі з них досить слабкі, виключатиме існування таких особливих розв'язків.

Наприклад, адитивна функція $f:x\mapsto cx$ є лінійною, якщо:

• $f$ неперервна (доведено Коші у 1821 році). Ця умова була ослаблена в 1875 році Дарбу, який показав, що неперервність функції необхідна тільки в одній точці;
• $f$ монотонна на деякому інтервалі;
• $f$ обмежена функція на деякому інтервалі;
• $f$ інтегрована (зокрема за Лебегом) на деякому інтервалі;
• $f$ вимірна на деякому інтервалі.

З іншого боку, якщо немає ніяких додаткових обмежень на $f$, тоді (за умови аксіоми вибору) є нескінченно багато інших функцій, які задовольняють це рівняння.

Це було доведено в 1905 році Шаблон:Не перекладено з використанням базису Гамеля. Такі функції інколи називають функціями Гамеля.

П'ята проблема у списку Гільберта є узагальненням цього рівняння. Функції, для яких є дійсне число $c$ таке, що $f(cx)\ne cf(x)$, відомі, як функції Коші-Гамеля і використовуються в інваріантах Дена-Хадвігера, які важливі для узагальнення третьої проблеми Гільберта з розмірності три на більш високі розмірності.

Інші форми функціонального рівняння Коші

• логарифмічне рівняння Коші $f(xy)=f(x)+f(y)$ (одна із сімей розв'язків має вигляд $f(x)=c\ln |x|={\log }_a|x|$).
• степеневе рівняння Коші $f(xy)=f(x)+f(y)$ (одна із сімей розв'язків має вигляд $f(x)=|x{|}^a$).
• експоненціальне рівняння Коші $f(x+y)=f(x)f(y)$ (одна із сімей розв'язків має вигляд $f(x)=\exp \left(cx\right)=a^x$).

Виродженим розв'язком цих рівнянь є функція $f(x)=0$.

Розв'язки в раціональних числах

Простий аргумент на основі елементарного алгебраїчного перетворення показує, що множина адитивних відображень $f:\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$ тотожна множині лінійних відображень.

Теорема: Нехай $f:\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$ є адитивною функцією. Тоді $f$ — лінійна функція.

Доведення: Доведемо, що будь-який розв'язок $f:\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$ функціонального рівняння Коші $f(x+y)=f(x)+f(y)$ має вигляд $f(q)=cq$, $c\in \mathbb{Q}$. Зручно розглядати випадки: $q=0$, $q>0$, $q<0$.

Випадок 1: ($q=0$): Нехай $y=0$, тоді

$f(x)=f(x)+f(0),x\in \mathbb{Q}$ $\Rightarrow f(0)=0$.

Випадок 2: ($q>0$): При повторному застосуванні рівняння Коші до $f(x+\cdots +x)=f(\alpha x)$, отримуємо

$\alpha f\left(x\right)=f\left(\alpha x\right),\alpha \in \mathbb{N},x\in \mathbb{Q}.(*)$

Після заміни $x$ на $\frac{x}{\alpha }$ у рівнянні $(*)$ та множення результату на $\frac{\beta }{\alpha }$, де $\beta \in \mathbb{N}$, отримаємо

$\beta f\left(\frac{x}{\alpha }\right)=\frac{\beta }{\alpha }f\left(x\right),\alpha ,\beta \in \mathbb{N},x\in \mathbb{Q}.(**)$.

Скориставшись формулою $(*)$ у лівій частині рівності $(**)$, отримаємо

$f\left(\frac{\beta }{\alpha }x\right)=\frac{\beta }{\alpha }f\left(x\right),\alpha ,\beta \in \mathbb{N},x\in \mathbb{Q}$

$\Rightarrow f\left(qx\right)=qf\left(x\right),q,x\in \mathbb{Q},q>0$

$\Rightarrow f\left(q\right)=qf\left(1\right)=cq,q\in {\mathbb{Q}}^{+}$,

де $c=f(1)\in \mathbb{Q}$ — довільна раціональна константа.

Випадок 3: ($q<0$): Поклавши $y=-x$ у функціональне рівняння і скориставшись, що $f(0)=0$, отримаємо

$f(-x)=-f(x),x\in \mathbb{Q}$.

Поєднання цього з результатом для додатних раціональних чисел (Випадок 2) дає

$f(q)=-f(-q)=-(c(-q))=cq,q\in {\mathbb{Q}}^{-}$.

Три вищевказані випадки дозволяють зробити висновок, що загальний розв'язок функціонального рівняння Коші над раціональними числами має вигляд:

$f:\mathbb{Q}\to \mathbb{Q},q\mapsto cq,c=f(1)\in \mathbb{Q}.◼$.

Властивості лінійних розв'язків над дійсними числами

Доведемо, що будь-які інші розв'язки повинні бути Шаблон:Не перекладено функціями. Зокрема, покажемо, що будь-який розв'язок повинно мати властивість, що його графік $y=f(x)$ є щільним в ${ℝ}^2$, тобто будь-який окіл (достатньо малий) площини містить, хоч одну точку графіку.

На основі цього легко доводяться різноманітні властивості, що наводилися у вступі.

Не обмежуючи загальності можна припустити, що $f(q)=q$ $\mathrm{\forall }q\in \mathbb{Q}$, і $f(\alpha )\ne \alpha$ для будь-яких $\alpha \in ℝ$.

Тоді покладемо $f(\alpha )=\alpha +\delta$, $\delta \ne 0$.

Покажемо, як знайти точку в довільному околі з центром у точці $(x,y)$, радіусом $r$, де $x,y,r\in \mathbb{Q}$, $r>0$, $x\ne y$.

Нехай $\beta =\frac{yx}{\delta }$ і виберемо раціональне число $b\ne 0$ близьке до $\beta$ таке, що

$|\beta -b|<\frac{r}{2\left|\delta \right|}.$

Далі вибираємо раціональне число $a$ близьке до $\alpha$ таке, що

$|\alpha -a|<\frac{r}{2\left|b\right|}.$

Покладемо

$X=x+b(\alpha -a),$

$Y=f(X).$

Потім, використовуючи функціональне рівняння, отримуємо

$\begin{array}{cc}Y& =f(x+b(\alpha -a))\\ & =x+bf(\alpha )-bf(a)\\ & =y-\delta \beta +bf(\alpha )-bf(a)\\ & =y-\delta \beta +b(\alpha +\delta )-ba\\ & =y+b(\alpha -a)-\delta (\beta -b).\end{array}$

Через наш вибір вище, точка $(X,Y)$ лежить усередині кола.

Існування нелінійних розв'язків над дійсними числами

Доведення лінійності наведене вище також можна застосовувати для функцій $f:\alpha \mathbb{Q}\to ℝ$, де $\alpha \mathbb{Q}$ — масштабована копія раціональних чисел. Це показує, шо допускаються лише лінійні розв'язки, якщо область визначення функції $f$ обмежена такими множинами. Отже, у загальному випадку, маємо $f(\alpha q)=f(\alpha )q$ для всіх $\alpha \in ℝ$, $q\in \mathbb{Q}$.

Але, як буде показано нижче, виродженні розв'язки можна знайти для функцій $f:ℝ\to ℝ$, опираючись на ці лінійні розв'язки, розглядаючи дійсні числа, як векторний простір над полем раціональних чисел.

Доведення існування нелінійних рішень — не є конструктивним і базується на аксіомі вибору. З її допомогою доводиться існування базису Гамеля в будь-якому векторному просторі, у тому числі нескінченновимірному (твердження доводиться з використанням леми Цорна).

(Насправді, існування базису для кожного векторного простору логічно еквівалентно аксіомі вибору).

Щоби показати, що є інші розв'язки, ніж ті, що визначені $f(x)=f(1)x$, спочатку зазначимо, що оскільки кожен векторний простір має базис, є базис для $ℝ$ над полем $\mathbb{Q}$, тобто набором $ℬ\subset ℝ$ із властивістю, що будь-який $x\in ℝ$ можна виразити однозначно, як $x=\sum _{i\in I}{\lambda }_i{x}_i$ де $\{x_i{\}}_{i\in I}$ — кінцева підмножина $ℬ$ (тобто $|I|<{\mathrm{\aleph }}_0$), і кожен ${\lambda }_i\in \mathbb{Q}$.

Обмеження $f$ на $x_i\mathbb{Q}$ повинно бути лінійною картою для кожного $x_i\in ℬ$.

До того ж оскільки $x_{i}q\mapsto f(x_i)q$ для $q\in \mathbb{Q}$, зрозуміло, що $\frac{f(x_i)}{x_i}$ — константа пропорційності. Іншими словами, $f:x_i\mathbb{Q}\to ℝ$ — карта $\xi \mapsto [f(x_i)x_i]\xi$. Оскільки будь-який $x\in ℝ$ може бути виражений, як унікальна (кінцева) лінійна комбінація $x_i$, і $f:ℝ\to ℝ$ є додатковою, $f(x)$ визначений для всіх $x\in ℝ$ і задається:

$f(x)=f\left(\sum _{i\in I}{\lambda }_i{x}_i\right)=\sum _{i\in I}f(x_i{\lambda }_i)=\sum _{i\in I}f(x_i){\lambda }_i$.

Неважко перевірити, що $f$ — це розв'язки функціонального рівняння Коші, яке дає визначення $f$ на основі елементів, $f:ℬ\to ℝ$. До того ж зрозуміло, що кожні розв'язки має таку форму. Зокрема, розв'язки функціонального рівняння є лінійними тоді й лише тоді, коли$\frac{f(x_i)}{x_i}$ є постійною для всіх $x_i\in ℬ$. Отже, попри неможливість демонструвати нелінійний розв'язок, більшість (у сенсі кардинальності) розв'язків функціонального рівняння Коші насправді нелінійні та патологічні.

Властивості нелінійних розв'язків

Доведемо, що будь-який нелінійний розв'язок повинний бути досить незвичайною функцією — його графік $y=f(x)$ повинен бути \всюди щільний в ${ℝ}^2$. Це означає, що будь-яке, як завгодно мале коло на площині містить принаймні одну точку цього графіка. З цього легко виводяться інші властивості, такі, як немонотонність і необмеженість на будь-якому інтервалі.

Поділивши функцію на $c=f(1)$, можна вважати, що для $\mathrm{\forall }a\in \mathbb{Q}:f(a)=a$ (Якщо $f(1)=0$, то для $\mathrm{\forall }a\in \mathbb{Q}:f(a)=0$, і міркування, наведені нижче, зберігають свою силу з мінімальними змінами). Якщо функція $f(x)$ не лінійна, то $f(\alpha )\ne \alpha$. Для деякого $\alpha \in ℝ$: $f(\alpha )=\alpha +\delta$, $\delta \ne 0$. Покажемо тепер, як знайти точку графіка в довільному колі з центром у точці $(x,y)$, радіуса $r$, де $x,y,r\in \mathbb{Q}$, $r>0$, $x\ne y$.

Нехай $\beta =\frac{yx}{\delta }$ і $b\ne 0$ раціональне число, близьке до $\beta$, отже, щоб

$|\beta -b|<\frac{r}{3\left|\delta \right|}$.

Далі виберемо раціональне число $a$, близьке до $\alpha$, так, щоб

$|\alpha -a|<\frac{r}{3\left|b\right|}$.

Покладемо $X=x+b(\alpha -a)$ і, використовуючи функціональне рівняння, отримаємо

$\begin{array}{cc}Y& =f(X)=f(x+b(\alpha -a))\\ & =x+bf(\alpha )-bf(a)\\ & =y-\delta \beta +bf(\alpha )-bf(a)\\ & =y-\delta \beta +b(\alpha +\delta )-ba\\ & =y+b(\alpha -a)-\delta (\beta -b).\end{array}$

Але тоді

$(Y-y{)}^2+(X-x{)}^2=(b(\alpha -a)-\delta (\beta -b){)}^2+(b(\alpha -a){)}^2⩽{(\frac{r}{3}+\frac{r}{3})}^2+{\left(\frac{r}{3}\right)}^2<r^2.$

Отже, точка $(X, Y)$ усередині кола.

Див. також

• Щільний порядок
• Шаблон:Не перекладено

Література

• Solution to the Cauchy Equation Rutgers University
• The Hunt for Addi(c)tive Monster
• Шаблон:Cite web