Простір петель

Простір петель — конструкція у топології, особливо важлива у теорії гомотопії.

Означення

Нехай $(X,x_0)$ є топологічним простором із виділеною точкою. Нехай $C([0,1],X)$ є простором усіх неперервних функцій $w:[0,1]\to X$, із компактно-відкритою топологією. Простором петель $(X,x_0)$ називається підпростір

$\mathrm{\Omega }(X,x_0):=\{w\in C([0,1],X)\mid w(0)=w(1)=x_0\}$

з топологією підпростору.

Еквівалентно можна розглянути одиничне коло $S^1$ із деякою виділеною точкою $s_0$ і тоді задати

$\mathrm{\Omega }(X,x_0):=\{w\in C(S^1,X)\mid w(s_0)=x_0\}$

Елементами простору $\mathrm{\Omega }(X,x_0)$ є замкнуті контури $w$ із початковою та кінцевою точкою $x_0$.

Простір петель $\mathrm{\Omega }(X,x_0)$ є топологічним простором із виділеною точкою, за яку можна взяти петлю $k:S^1\to X,k(t)=x_0$ для всіх $t\in S^1$.

Іноді також розглядається вільний простір петель, який є аналогом для просторів без виділеної точки. Такий простір часто позначається $ℒX$ і за означенням є множиною усіх неперервних відображень із $S^1$ у $X$ із компактно-відкритою топологією.

Простір петель як функтор

Якщо $(X,x_0)$ і $(Y,y_0)$ є топологічними просторами із виділеними точками і $f:(X,x_0)\to (Y,y_0)$ є неперервним відображенням, воно породжує неперервне відображення між просторами петель

$\mathrm{\Omega }f:\mathrm{\Omega }(X,x_0)\to \mathrm{\Omega }(Y,y_0),w\mapsto f\circ w$.

Якщо $(Z,z_0)$ є третім топологічним простором із виділеною точкою і $g:(Y,y_0)\to (Z,z_0)$ є неперервним відображенням то

$\mathrm{\Omega }(g\circ f)=\mathrm{\Omega }g\circ \mathrm{\Omega }f$.

Таким чином одержується функтор на категорії топологічних просторів із виділеною точкою.

Гомотопії та фундаментальні групи

Гомотопією між двома петлями $v,w\in \mathrm{\Omega }(X,x_0)$ називається неперервне відображення

$H:[0,1]\times [0,1]\to X$, для якого

$H(s,0)=v(s)$   для всіх $s\in [0,1]$

$H(s,1)=w(s)$   для всіх $s\in [0,1]$

$H(0,t)=H(1,t)=x_0$ для всіх $t\in [0,1]$

Можна уявити, що петлі $v=H(\cdot ,0)$ і $w=H(\cdot ,1)$ за допомогою відображення $H(\cdot ,t)$ постійно «деформуються» одна в іншу. Остання з вищезазначених умов забезпечує, що всі $H(\cdot ,t)$ також є петлями з виділеною точкою $x_0$. Такі гомотопії, які фіксують виділену точку топологічного простору називаються також точковими гомотопіями.

Гомотопія між петлями — відношення еквівалентності, множина класів еквівалентності на $\mathrm{\Omega }(X,x_0)$ позначається ${\pi }_1(X,x_0)$. Клас еквівалентності петлі $w$ позначається $[w]$ і називається класом гомотопії.

Якщо задано дві петлі $v,w\in \mathrm{\Omega }(X,x_0)$, для них можна дати означення добутку $v*w$, як петлі, яка спочатку пробігає петлю $v$, а потім $w$. Точніше

$(v*w)(t)=\{\begin{array}{cc}v(2t)& t\in [0,\frac{1}{2}]\\ w(2t-1)& t\in [\frac{1}{2},1]\end{array}$.

Цей добуток сумісний з гомотопією петель, індукує добуток на множині ${\pi }_1(X,x_0)$ класів гомотопії: $[v]*[w]:=[v*w]$. Разом із цим добутком ${\pi }_1(X,x_0)$ є групою, яка називається фундаментальною групою для $(X,x_0).$ Нейтральним елементом цієї групи є $[k]$, клас гомотопії постійної петлі.

Зв'язок із редукованою надбудовою

За означенням редукована надбудова $\mathrm{\Sigma }(X,x_0)$ топологічного простору із виділеною точкою $(X,x_0)$ є фактор-простором

$\mathrm{\Sigma }(X,x_0)=(X\times [0,1])/(X\times \{0\}\cup X\times \{1\}\cup \{x_0\}\times [0,1])$.

Нехай $q:X\times [0,1]\to \mathrm{\Sigma }(X,x_0)$ позначає відображення на фактор-простір і образ підпростору $X\times \{0\}\cup X\times \{1\}\cup \{x_0\}\times [0,1]$ є виділеною точкою у $\mathrm{\Sigma }(X,x_0)$. Якщо $(Y,y_0)$ є ще одним топологічним простором із виділеною точкою то для неперервного відображення

$f:\mathrm{\Sigma }(X,x_0)\to (Y,y_0)$

одержується неперервне відображення

$f\circ q:X\times [0,1]\to Y$

і також неперервне відображення

$\tilde{f}:(X,x_0)\to \mathrm{\Omega }(Y,y_0),(\tilde{f}(x))(t):=(f\circ q)(x,t),x\in X,t\in [0,1]$.

Оскільки образами $(x,0)$ і $(x,1)$ при відображенні $q$ є виділена точка у $\mathrm{\Sigma }(X,x_0)$ і $f$ є відображенням просторів із виділеною точкою, то $(f\circ q)(x,0)=(f\circ q)(x,1)=y_0$, тобто $\tilde{f}(x)$ є елементом простору петель $\mathrm{\Omega }(Y,y_0)$.

Таким чином існує бієктивне відображення

$C(\mathrm{\Sigma }(X,x_0),(Y,y_0))\to C((X,x_0),\mathrm{\Omega }(Y,y_0)),f\mapsto \tilde{f}$.

у категорії топологічних просторів із виділеною точкою це відображення є сумісним із точковими гомотопіями, і тому індукує бієкцію між множинами класів гомотопії. У цьому сенсі функтори $\mathrm{\Omega }$ і $\mathrm{\Sigma }$ є спряженими. Цей зв'язок між функторами простору петель і редукованої надбудови часто називають двоїстістю Екмана — Хілтона.

Аналогічно функтор вільного простору петель є правим спряженим до функтора добутку топологічного простору із простором $S^1$.

Додатково також оскільки редукована надбудова завжди є асоціативним H'-простором із оберненими елементами (в сенсі гомотопії), а простір петель є асоціативним H-простором із оберненими елементами (в сенсі гомотопії), то на класах гомотопій $[\mathrm{\Sigma }(X,x_0),(Y,y_0)]$ і $[(X,x_0),\mathrm{\Omega }(Y,y_0)]$ можна задати стандартні групові структури і тоді породжена бієкція між цими множинами також є ізоморфізмом груп.

Важливим частковим випадком є коли $(X,x_0)=(S^n,s_0)$ тобто є n-гіперсферою із виділеною точкою. Тоді за означенням $[\mathrm{\Sigma }(X,x_0),(Y,y_0)]$ є гомотопічною групою ${\pi }_n(Y,y_0)$, а редукована надбудова $\mathrm{\Sigma }(S^n,s_0)$ є гомеоморфною гіперсфері $(S^{n+1},s_0)$. Тому із попереднього випливає для будь якого простору із виділеною точкою $(Y,y_0)$ ізоморфізм:

${\pi }_n(Y,y_0)\simeq {\pi }_{n-1}(\mathrm{\Omega }(Y,y_0))$.

Див. також

• Компактно-відкрита топологія
• Надбудова (топологія)
• Смеш-добуток
• Фундаментальна група
• Петля (топологія)

Література

• Шаблон:Citation
• Tammo tom Dieck: Algebraic Topology, European Mathematical Society (2008), ISBN 978-3-03719-048-7