Антикомутативність

Шаблон:UniboxБінарна операція, що визначена в кільці, називається антикомутитивною, якщо в кільці виконується тотожність $x^2=0$. Із цього випливає тотожність $xy+yx=0$. Якщо $2=1+1$ у кільці не є дільником нуля, то перша тотожність випливає з другої, і вони еквівалентні. Проте в загальному випадку це не так (наприклад, в алгебрах над полем характеристики $2$ перша тотожність сильніша за другу).

Алгебри Лі й алгебри Мальцева за означенням мають антикомутативне множення.

Градуйована антикомутативність

Нехай $\mathrm{\Omega }={\oplus }_i{\mathrm{\Omega }}^i$ — градуйована алгебра. Множення в $\mathrm{\Omega }$ називається градуйовано антикомутативним, якщо для будь-яких ${\omega }_m\in {\mathrm{\Omega }}^m$, ${\omega }_k\in {\mathrm{\Omega }}^k$

${\omega }_m{\omega }_k+(-1{)}^{mk+1}{\omega }_k{\omega }_m=0$

Приклади

• алгебра зовнішніх форм;
• алгебра диференціювань диференціальных форм;
• алгебра тангенціальнозначних форм;
• векторний добуток також антикомутативний.

Див. також

• Комутативність

Джерела

• Шаблон:Вінберг.Курс алгебри
• Шаблон:MathWorld