Трикутна хвиля

Обмежена трикутна хвиля: залежність від часу (вгорі) та частоти (внизу). Основна частота дорівнює 220 Гц (A3)

Шаблон:Listen Шаблон:Listen Трикутна хвиля — це несинусоїдальна форма хвилі, названа на честь своєї трикутної форми. Це періодична, кусково-лінійна, неперервна, дійснозначна функція.

Як і прямокутна хвиля, трикутна хвиля містить тільки непарні гармоніки. Однак вищі гармоніки Шаблон:Нп набагато швидше ніж в прямокутної хвилі (пропорційно оберненому квадрату номера гармоніки, а не оберненому значенню).

Гармоніки

Анімація Шаблон:Нп трикутної хвилі зі збільшенням кількості гармонік. Див. Фур'є-аналіз для математичного опису.

Можна апроксимувати трикутну хвилю Шаблон:Нп, підсумовуючи непарні гармоніки основної частоти, домножуючи кожну іншу непарну гармоніку на $-1$ (або, еквівалентно, змінюючи її фазу на π) і домножуючи амплітуду гармонік на обернений квадрат їх номера моди $n$ (або на обернений квадрат їх відносної частоти до фундаментальної).

Вищесказане можна математично узагальнити наступним чином:

$\begin{array}{cc}{x}_{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{l}\mathrm{e}}(t)& =\frac{8}{{\pi }^2}\sum _{i=0}^{N-1}(-1{)}^i{n}^{-2}\sin \left(2\pi f_{0}nt\right)\end{array}$,

де $N$ — кількість гармонік, що включаються в наближення, $t$ — незалежна змінна (наприклад, час для звукових хвиль), $f_0$ — основна частота, а $i$ — індекс гармоніки, яка пов'язана з номером її моди, $n=2i+1$.

Цей нескінченний ряд Фур'є сходиться до трикутної хвилі, коли $N$ прямує до нескінченності як показано на анімації.

Означення

Синусоїдальні, прямокутні, трикутні, та пилкоподібні хвилі

Ще одне означення трикутної хвилі на інтервалі від $-1$ до $1$ та з періодом $p$:

$x(t)=\frac{4}{p}(t-\frac{p}{2}\lfloor \frac{2t}{p}+\frac{1}{2}\rfloor )(-1{)}^{\lfloor \frac{2t}{p}+\frac{1}{2}\rfloor }$,

де символ $\lfloor n\rfloor$ — функція підлоги від $n$.

Також трикутна хвиля може бути абсолютним значенням пилкоподібної хвилі :

$x(t)=2|\frac{t}{p}-\lfloor \frac{t}{p}+\frac{1}{2}\rfloor |$

або для інтервалу від $-1$ до $1$:

$x(t)=2\left|2(\frac{t}{p}-\lfloor \frac{t}{p}+\frac{1}{2}\rfloor )\right|-1.$

Трикутна хвиля також може бути виражена як інтеграл

$x(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\mathrm{sgn}(\sin (u))\mathrm{d}u$.

Це просте рівняння з періодом $4$ та початковим значенням $y(0)=1$:

$y(x)=|xmod4-2|-1$.

Оскільки у цьому представлені використовується лише Шаблон:Нпта абсолютне значення, то це можна використовувати для простої реалізації трикутної хвилі на апаратній електроніці з малою потужністю процесора. Попереднє рівняння можна узагальнити на випадок періоду $p$, амплітуди $a$ і початкового значення $y(0)=a/2$:

$y(x)=\frac{2a}{p}|\left(xmodp\right)-\frac{p}{2}|-\frac{2a}{4}.$

Попередня функція — це частковий випадок останньої при $a=2$ і $p=4$:

$y(x)=\frac{2\cdot 2}{4}|\left(xmod4\right)-\frac{4}{2}|-\frac{2\cdot 2}{4}\iff$

$y(x)=|\left(xmod4\right)-2|-1.$

Непарну версію першої функції можна отримати, просто змістити на одиницю початкове значення, що змінить фазу вихідної функції:

$y(x)=|(x-1)mod4-2|-1.$

Узагальнюючи це, одержуємо непарну функцію для будь-якого періоду і амплітуди:

$y(x)=\frac{4a}{p}|\left((x-\frac{p}{4})modp\right)-\frac{p}{2}|-a.$

За допомогою функцій sine та arcsine з періодом $p$ та амплітудою $a$ трикутну хвилю можна записати у вигляді:

$y(x)=\frac{2a}{\pi }\arcsin (\sin \left(\frac{2\pi }{p}x\right)).$

Довжина дуги

Довжина дуги за період $s$ для трикутної хвилі заданої амплітуди $a$ та періодом $p$ :

$s=\sqrt{(4a{)}^2+p^2}.$

Див. також

• Список періодичних функцій
• Кусково-лінійна функція
• Основна частота
• Зигзаг
• Синусоїда
• Прямокутна хвиля
• Функція підлоги та стелі
• Абсолютне значення
• Шаблон:Нп
• Шаблон:Нп
• Пилкоподібна хвиля

Посилання

• Шаблон:MathWorld