Регулярний розподіл

Регуля́рне сіме́йство розпо́ділів в математичній статистиці — це розподіл, густина якого диференційована відносно параметру.

Визначення

Нехай дано параметричне сімейство абсолютно неперервних розподілів $\{{\mathbb{P}}_{\theta }{\}}_{\theta \in \mathrm{\Theta }}$, де $\mathrm{\Theta }\subset ℝ$, так що $f(x\mid \theta )$ - густина ймовірності ${\mathbb{P}}_{\theta }$ для кожного $\theta \in \mathrm{\Theta }$. Тоді це сімейство називається регулярним, якщо існує така множина $D\subset ℝ$, що ${\mathbb{P}}_{\theta }(D)=1,\mathrm{\forall }\theta \in \mathrm{\Theta }$, і

$\mathrm{\forall }x\in D,\sqrt{f(x\mid \cdot )}\in C^1(\mathrm{\Theta })$,

тобто $\sqrt{f(x\mid \cdot )}$ неперервно диференційована відносно параметра $\theta \in \mathrm{\Theta }$.

Приклади

• Нехай $\mathrm{\Theta }=\{\theta >0\}$, і ${\mathbb{P}}_{\theta }=\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}(\theta )$ - експоненційний розподіл з параметром $\theta$. Тоді

$\frac{\partial }{\partial \theta }\sqrt{f(x\mid \theta )}=(\frac{1}{2\sqrt{\theta }}-\frac{\sqrt{\theta }x}{2})e^{-\theta x/2}\in C(\mathrm{\Theta }).$

Отже, сімейство розподілів регулярне.

• Нехай $\mathrm{\Theta }=\{\theta >0\}$, і ${\mathbb{P}}_{\theta }=\mathrm{U}[0,\theta ]$ - неперервний рівномірний розподіл на відрізку $[0,\theta ]$. Тоді легко бачити, що $D\supset [0,\mathrm{\infty })$, і $f(x\mid \cdot )$ розривна у точці $\theta =x$. Таким чином сімейство розподілів нерегулярне.

Джерела

• Шаблон:Гнєденко.Курс теорії ймовірностей
• Шаблон:Карташов.Імовірність процеси статистика
• Шаблон:Гіхман.Скороход.Ядренко