Секвенційний простір

У топології секвенційним простором називається топологічний простір у якому властивість збіжності чи розбіжності послідовностей повністю визначає топологію. Поняття вперше формально ввів американський математик Стен Френклін у 1965 році.

Секвенційно відкриті і секвенційно замкнуті множини

Означення

Нехай X — топологічний простір.

• Підмножина U простору X називається секвенційно відкритою якщо для кожної послідовності (x_n) точок X, що збігається до точки з U існує N таке, що x_n є точкою U для всіх n ≥ N.)
• Підмножина F простору X називається секвенційно замкнутою якщо для кожної послідовності (x_n) точок F, що збігається до x, точка x теж належить F.

Властивості

• Доповнення секвенційно відкритої множини є секвенційно замкнутою множиною і навпаки.

Нехай U є секвенційно відкритою, F= X\U є її доповненням і (x_n)_n∈ℕ є збіжною послідовністю точок із F. Якщо $x_n\underset{n\to \mathrm{\infty }}{⟶}x\in U$, тоді $\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N},\{x_k,k\ge N\}\subset U$. Це суперечить тому, що всі x_n є елементами F. Тобто кожна така послідовність збігається до точки F і тому F є секвенційно замкнутою.

Навпаки, нехай F є секвенційно замкнутою і U= X\F її доповненням. Нехай також (x_n)_n∈ℕ є послідовністю у X для якої $\underset{n\to \mathbb{N}}{\lim }{x}_n=x\in U$ і припустимо, що для будь-якого $N\in \mathbb{N},\{x_k,k\ge N\}\subseteq ̸U$, тобто $\mathrm{\forall }N\in \mathbb{N},\mathrm{\exists }{k}_N\ge N,x_{k_N}\in F=X\mathrm{\setminus }U$. Розглянемо підпослідовність таких елементів $x_{k_N}$ (їх очевидно має бути нескінченно багато). Ця підпослідовність є збіжною як підпослідовність збіжної послідовності, і всі її елементи належать F. Томі і границя має бути елементом F, що суперечить тому, що x∈U. Відповідно всі елементи послідовності x_n, починаючи з деякого належать U і тому U є секвенційно відкритою множиною.

• Кожна відкрита підмножина у X є секвенційно відкритою і кожна замкнута підмножина є секвенційно замкнутою.

Нехай (x_n)_n∈ℕ є послідовністю у X, що збігається до точки x∈U. Оскільки U є відкритою множиною, то вона є околом точки x і, за означенням збіжності послідовностей, існує $N\in \mathbb{N},\{x_k,k\ge N\}\subset U$. Це доводить твердження для відкритих множин. Твердження для замкнутих множин випливає із того, що доповнення замкнутої множини є відкритою множиною, а доповнення секвенційно замкнутої — секвенційно відкритою.

• Секвенційно відкриті множини утворюють топологію, яка є сильнішою від початкової і має однакові властивості щодо збіжності послідовностей.

Порожня множина і X є очевидно секвенційно відкритими множинами. Нехай(U_i)_i∈I є сім'єю секвенційно відкритих підмножин, $U=\bigcup _{i\in I}{U}_i$ і (x_n)_n∈ℕ — послідовність у X, що збігається до x∈U. Якщо x є елементом об'єднання, то $\mathrm{\exists }{i}_0\in I,x\in U_{i_0}$ і, згідно означення секвенційно відкритих множин, усі елементи послідовності x_n, починаючи з деякого, належать U_i0. Якщо $V=\bigcap _{i=1}^n{U}_i$ є скінченним перетином секвенційно відкритих підмножин, то послідовність, що збігається до елемента x∈V задовольняє умови $\mathrm{\forall }i\in \mathbb{N},1\le i\le n,\mathrm{\exists }{N}_i\in \mathbb{N},\{x_k,k\ge N_i\}\subset U_i$. Якщо взяти $N=\underset{1\le i\le n}{\max }{N}_i$, то $\{x_k,k\ge N\}\subset V$.

Означення секвенційних просторів

Секвенційним простором називається топологічний простір X, що задовольняє еквівалентні умови:

1. Кожна секвенційно відкрита підмножина простору X є відкритою множиною.
2. Кожна секвенційно замкнута підмножина простору X є замкнутою множиною.
3. Для кожної підмножини S ⊆ X, яка не є замкнутою, тобто $\bar{S}\mathrm{\setminus }S\ne \mathrm{\varnothing }$, існує послідовність $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\in S^{\mathbb{N}}$ елементів S, що збігається до елемента $\bar{S}\mathrm{\setminus }S$.

Тобто початкову топології можна відтворити на основі інформації про те які послідовності є збіжними.

Еквівалентність перших двох умов відразу випливає з того, що доповнення замкнутої множини є відкритою множиною, а доповнення секвенційно замкнутої — секвенційно відкритою.

($2.\iff 3.$): Якщо S не є замкнутою, то S не є секвенційно замкнутою і тому існує послідовність елементів S, що збігається до точки, що не належить S. Оскільки ця точка є точкою дотику для S, то вона належить замиканню S.

Навпаки, припустимо, що виконується умова 3 і підмножина S:=F є секвенційно замкнутою але не замкнутою. Згідно умови 3 тоді існує послідовність у F, що збігається до точки у $\bar{S}\mathrm{\setminus }S=\bar{F}\mathrm{\setminus }F$, тобто гранична точка не належить F. Це суперечить секвенційній замкнутості F.

Іншими еквівалентними умовами є:

• X є фактор-простором, топологічного простору, що задовольняє першу аксіому зліченності.
• X є фактор-простором метричного простору.
• Для кожного топологічного простору Y відображення f : X → Y є неперервним якщо і тільки якщо для кожної послідовності точок (x_n) у X, що збігається до x, послідовність (f(x_n)) збігається до f(x).

Секвенційне замикання

Для підмножини $A\subseteq X$ простору $X$, секвенційним замиканням $[A{]}_{\text{seq}}$ називається множина

$[A{]}_{\text{seq}}=\{x\in X:\mathrm{\exists }\{a_n\}\to x,a_n\in \}$

тобто множина всіх точок $x\in X$ для яких існує послідовність у $A$, що збігається до $x$. Оператор

$[{]}_{\text{seq}}:A\mapsto [A{]}_{\text{seq}}$

називається оператором секвенційного замикання.

Оператор секвенційного замикання має багато властивостей спільних із оператором замикання:

• $[\varnothing {]}_{\text{seq}}=\varnothing .$
• $\subseteq [A{]}_{\text{seq}}\subseteq \bar{A}$ і тому секвенційне замикання замкнутої множини є тією ж множиною.

$\bar{A}$ позначає замикання множини $A$.

• $[A\cup B{]}_{\text{seq}}=[A{]}_{\text{seq}}\cup [B{]}_{\text{seq}}$ для всіх $A,B\subseteq X$.

Проте, на відміну від звичайного замикання, оператор секвенційного замикання загалом не є ідемпотентним, тобто можливі випадки коли

$[A{]}_{\text{seq}}⊊[[A{]}_{\text{seq}}{]}_{\text{seq}},$

і також $[A{]}_{\text{seq}}\ne \bar{A}$, навіть коли $A$ є підмножиною секвенційного простору $X$.

Ще одним варіантом є трансфінітне секвенційне замикання. Для його означення нехай спершу $A_0$ є рівним $A$ і для звичайного ординала $A_{\alpha +1}$ є рівним $[A_{\alpha }{]}_{\text{seq}}.$ Для граничного ординала $\alpha$ за означенням $A_{\alpha }$ є рівним $\bigcup _{\beta <\alpha }{A}_{\beta }$. Тоді існує найменший ординал $\alpha$ для якого $A_{\alpha }=A_{\alpha +1}$ і тоді $A_{\alpha }$ називається трансфінітним секвенційним замиканням множини $A$ (зокрема завжди $\alpha \le {\omega }_1$, де ${\omega }_1$ є першим незліченним ординалом). Трансфінітне секвенційне замикання є очевидно ідемпотентним.

Найменше $\alpha$ для якого $A_{\alpha }=\bar{A}$ для всіх $A\subseteq X$ називається секвенчійним порядком простору X. Секвенційний порядок є визначеним для всіх секвенційних просторів.

Простір Фреше

Топологічний простір у якому секвенційне замикання будь-якої множини є рівним її замиканню називається простором Фреше. Тобто у цьому просторі

$[A{]}_{\text{seq}}=\bar{A}$

для всіх $A\subseteq X$.

Топологічний простір є простором Фреше, якщо і тільки якщо кожен його підпростір є секвенційним простором.

Кожен топологічний простір, що задовольняє першу аксіому зліченності є простором Фреше. Дійсно, нехай точка $x\in \overline{A}$ має зліченну базу околів $U_i.$ Для кожного $i=1,2,\dots$ можна вибрати точку $x_i\in A\cap U_1\cap U_2\cap \dots \cap U_i.$ Тоді послідовність $\{x_i\}$ збігається до $x.$

Очевидно, що кожен простір Фреше є секвенційним простором. Обернене твердження не є справедливим.

Топологічний простір $X$ називається сильним простором Фреше якщо для кожної точки $x\in X$ і кожної послідовності $A_1,A_2,\dots$ підмножин простору $X$ для якої $x\in \bigcap _n\overline{A_n}$ , існують точки $x_1\in A_1,x_2\in A_2,\dots$ такі, що $\{x_n\}\to x$.

Приклади

• Кожен простір, що задовольняє першу аксіому зліченності є секвенційним. Як наслідок простори, що задовольняють другу аксіому зліченності, метричні простори і дискретні простори є секвенційними. Інші приклади можна отримати застосувавши категорні властивості секвенційних просторів. Наприклад кожен CW-комплекс є секвенційним, оскільки він є фактор-простором метричного простору.
• Фактор-простір дійсних чисел R одержаний ідентифікацією цілих чисел Z є секвенційним простором, що не задовольняє першу аксіому зліченності.

• Топологічний простір із козліченною топологією на незліченній множині не є секвенційним. Кожна збіжна послідовність у такому просторі є константою починаючи з якогось номера, тому кожна множина є секвенційно відкритою. Але козліченна топологія не є дискретною.

Категорні властивості

Повна підкатегорія Seq усіх секвенційних просторів є замкнутою щодо таких операцій у категорії топологічних просторів Top:

• Фактор-простори
• Неперервні відкриті чи замкнуті образи
• Суми топологічних просторів
• Фінальні топології
• Відкриті і замкнуті підпростори

Натомість Seq не є замкнутою щодо таких операцій у Top:

• Неперервні образи
• Підпростори
• Скінченні добутки

Оскільки вони є замкнутими щодо сум і фактор-просторів, секвенційні простори утворюють корефлективну підкатегорію категорії топологічних просторів. Більш того вони є корефлективною оболонкою метризовних просторів (тобто найменшим класом топологічних просторів, що є замкнутим відносно сум і фактор-просторів і містить метризовні простори).

Підкатегорія Seq є декартово замкнутою щодо свого добутку (не добутку у Top). Її експоненційні об'єкти наділені топологією збіжних послідовностей. P.I. Booth і A. Tillotson довели, що Seq є найменшою декартово замкнутою підкатегорією категорії Top, що містить топологічні простори усіх метричних просторів, CW-комплексів, диференційовних многовидів і є замкнутою щодо кограниць, фактор-категорій і деяких додаткових рівностей введених Норманом Стінродом.

Див. також

• Перша аксіома зліченності

Джерела

• Arkhangel'skii, A.V. and Pontryagin, L.S., General Topology I, Springer-Verlag, New York (1990) Шаблон:Isbn.
• Booth, P.I. and Tillotson, A., Monoidal closed, cartesian closed and convenient categories of topological spaces Шаблон:Webarchive Pacific J. Math., 88 (1980) pp. 35–53.
• Engelking, R., General Topology, Heldermann, Berlin (1989). Revised and completed edition.
• Franklin, S. P., "Spaces in Which Sequences Suffice Шаблон:Webarchive", Fund. Math. 57 (1965), 107-115.
• Franklin, S. P., "Spaces in Which Sequences Suffice II Шаблон:Webarchive", Fund. Math. 61 (1967), 51-56.
• Goreham, Anthony, "Sequential Convergence in Topological Spaces"
• Steenrod, N.E., A convenient category of topological spaces Шаблон:Webarchive, Michigan Math. J., 14 (1967), 133-152.