Теорема Лебега про щільність

Теорема Лебега про щільність — результат теорії міри, який інтуїтивно можна розуміти так, що множина «граничних точок» вимірної множини має міру нуль.

Твердження

Позначимо через $\lambda$ міру Лебега на евклідовому просторі ${ℝ}^n$. Нехай $A\subset {ℝ}^n$ — вимірна множина. Для довільної точки $x\in {ℝ}^n$ і $\epsilon >0$ розглянемо значення

$d_{\epsilon }(x)=\frac{\lambda (A\cap B_{\epsilon }(x))}{\lambda (B_{\epsilon }(x))}$,

де $B_{\epsilon }(x)$ позначає кулю з центром в $x$ і радіусом $\epsilon$. Величину $d_{\epsilon }(x)$ можна інтерпретувати як приблизна щільність множини $A$ в точці $x$.

тоді

$d(x)=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{d}_{\epsilon }(x)$

існує і дорівнює 1 для майже кожної точки $x\in A$.

Зауваження

• Величина $d(x)$, якщо визначена, називається щільністю множини $A$ в точці $x$.
• Інакше кажучи, теорема стверджує, що щільність будь-якої вимірної множини $A\subset {ℝ}^n$ приймає значення 0 або 1 майже всюди в ${ℝ}^n$.
• Якщо множина і її доповнення мають додатну міру, то завжди знайдуться точки із щільністю не рівною 0 і 1.

Приклади

Наприклад, дано квадрат в площині, щільність в кожній точці всередині квадрата дорівнює 1, на сторонах 1/2, в вершинах по 1/4, і 0 поза квадрата; сторони і вершини квадрата є множинами міри нуль.

Варіації і узагальнення

• Теорема про щільність є окремим випадком теореми Лебега про диференціювання.

Див. також

• Теорема Лебега про диференціювання

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Citation