Кривина ріманових многовидів

Зліва направо: поверхні негативної, нульової і позитивної гаусової кривини.

Кривина ріманових многовидів чисельно характеризує відмінність ріманової метрики многовиду від евклідової в даній точці. У разі поверхні кривина в точці повністю описується гаусовою кривиною. У розмірностях 3 і вище кривина не може бути повністю охарактеризована одним числом в заданій точці, замість цього вона означається як тензор.

Тензор кривини

Шаблон:Main Кривина ріманого многовиду може бути описана різними способами. Найбільш стандартним є тензор кривини, заданий через зв'язність Леві-Чивіти (або коваріантне диференціювання) $\mathrm{\nabla }$ і дужку Лі $[\cdot ,\cdot ]$ за такою формулою:

$R(u,v)w={\mathrm{\nabla }}_u{\mathrm{\nabla }}_{v}w-{\mathrm{\nabla }}_v{\mathrm{\nabla }}_{u}w-{\mathrm{\nabla }}_{[u,v]}w.$

Тензор кривини $R(u,v)$ є лінійним перетворенням дотичного простору до многовиду в обраній точці.

Якщо $u=\partial /\partial x_i$ и $v=\partial /\partial x_j$, тобто вони є координатними векторами, то $[u,v]=0$, і тому формула спрощується:

$R(u,v)w={\mathrm{\nabla }}_u{\mathrm{\nabla }}_{v}w-{\mathrm{\nabla }}_v{\mathrm{\nabla }}_{u}w,$

тобто тензор кривини вимірює некомутативність коваріантних похідних за векторах.

Лінійне перетворення $w\mapsto R(u,v)w$ також називають перетворенням кривини.

Посилання

• Шаблон:Ref-ruШаблон:Книга Шаблон:Сторінка