Гіпотеза Андріци

Шаблон:Multiple image Гіпотеза Андріци — гіпотеза щодо інтервалів між простими числами, згідно з якою нерівність:

$\sqrt{p_{n+1}}-\sqrt{p_n}<1$

виконується для всіх $n$, де $p_n$ є $n$ -м простим числом. якщо $g_n=p_{n+1}-p_n$ означає $n$ -й інтервал, то гіпотезу Андріци можна переписати як:

$g_n<2\sqrt{p_n}+1$.

Сформулював румунський математик Дорін Андріца 1986 року Шаблон:Sfn.

Емпіричне підтвердження

На початку 2000-х років з використанням даних про найбільші інтервали простих чисел гіпотезу перевірено аж до $1,3002\times 10^{16}$Шаблон:Sfn. Використовуючи таблицю максимальних інтервалів і нерівність для інтервалів, можна розширити значення підтвердження аж до $4\times 10^{18}$.

Існує графічна ілюстрація гіпотези: для дискретної функції $A_n=\sqrt{p_{n+1}}-\sqrt{p_n}$ (функції Андріци) найбільше значення спостерігається в точці $n=4$ зі значенням $A_4\approx 0,670873\dots$, і більших значень немає серед перших 10⁵ простих чисел. Оскільки функція Андріци асимптотично спадає в міру зростання $n$, гіпотеза з великою ймовірністю правильна, але залишається недоведеною.

Узагальнення

Як узагальнення гіпотези Андріци розглядається така рівність:

$p_{n+1}^x-p_n^x=1,$

де $p_n$ — $n$-е просте, а $x$ може бути будь-яким додатним (дійсним) числом.

Найбільший можливий розв'язок за $x$ знаходиться при $n=1$, коли $x_{\max }=1$. Є гіпотеза, що найменше значення $x$ дорівнює $x_{\min }\approx 0,567148\dots$, яке знаходиться при $n=30$.

Ця гіпотеза формулюється у вигляді нерівності, яка узагальнює гіпотезу Андріци:

$p_{n+1}^x-p_n^x<1$ для $x<x_{\min }$.

Див. також

• Гіпотеза Крамера
• Гіпотеза Лежандра
• Гіпотеза Фірузбехта

Література

• Шаблон:Книга-ру
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга-ру

Посилання

• Andrica 's Conjecture на PlanetMath
• Generalized Andrica conjecture Шаблон:Webarchive на PlanetMath
• Шаблон:MathWorld