Константа Леві

Шаблон:UniboxУ математиці, стала Леві (іноді стала Хінчина-Леві) зустрічається у виразі для асимптотичної поведінки знаменників конвергентів ланцюгових дробів.

Загальний опис

У 1935 р. Радянський математик Олександр Хінчин показав, що знаменники $q_n$ збіжників розкладів ланцюгових дробів майже всіх дійсних чисел задовольняють умову

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{q_n}^{1/n}=\gamma$

для деякої сталої $\gamma$. Незабаром, у 1936 році, французький математик Поль Леві вивів аналітичну формулу цієї константи, а саме

$\gamma =e^{{\pi }^2/(12\ln 2)}=3.275822918721811159787681882\dots$ Шаблон:OEIS

Термін «стала Леві» іноді застосовують до сталої ${\pi }^2/(12\ln 2)$ (логарифм сталої $\gamma$), що приблизно дорівнює 1.1865691104… Значення можна вивести з асимптотичного математичного сподівання логарифму співвідношення сусідніх знаменників ланцюгового дробу використовуючи розподіл Гаусса-Хінчина. Зокрема, співвідношення є випадковою величиною з щільністю

$f(z)=\frac{1}{z(z+1)\ln (2)}$

при $z\ge 1$ і нулем у решті випадків. Звідси вираховуємо сталу Леві

$\ln (\gamma )=\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\ln (z)}{z(z+1)\ln (2)}dz=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\ln (z^{-1})}{(z+1)\ln (2)}dz=\frac{{\pi }^2}{12\ln (2)}$.

Десятковий логарифм сталої Леві, що приблизно дорівнює 0,51532041…, є половиною обернення границі (n/m) теореми Лохса.

Див. також

• Стала Хінчина

Джерела

• Шаблон:Cite book

Посилання

• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:OEIS el