Теорія кіс

Приклад коси з трьома дугами.

Теорія кіс — розділ топології та алгебри, вивчає коси і групи кіс, складені з їхніх класів еквівалентності.

Визначення коси

Коса з $n$ ниток — об'єкт, що складається з двох паралельних площин $P_0$ і $P_1$ у тривимірному просторі ${ℝ}^3$, які містять упорядковані множини точок $a_1,a_2,\dots ,a_n\in P_0$ і $b_1,b_2,\dots ,b_n\in P_1$і з $n$ роз'єднаних між собою простих дуг $l_1,l_2,\dots ,l_n$, які перетинають кожну паралельну площину $P_t$ між $P_0$ і $P_1$ одноразово і з'єднують точки $\{a_i\}$ з точками $\{b_i\}$.

Зазвичай вважається, що точки $a_1,a_2,\dots ,a_n$ лежать на прямій $l_0$ в $P_0$, а точки $b_1,b_2,\dots ,b_n$ на прямій $l_1$ в $P_1$, паралельній $l_0$, причому $a_i$ розташовані під $b_i$ для кожного $i$.

Коси зображуються в проєкції на площину, що проходить через $l_0$ і $l_1$ця проєкція може бути зведена в загальне положення так, що є лише скінченне число подвійних точок, попарно розташованих на різних рівнях, і перетини трансверсальні.

Група кіс

Шаблон:Докладніше У множині всіх кіс з n нитками і з фіксованими $P_0,P_1,\{a_i\},\{b_i\}$ вводиться відношення еквівалентності. Воно визначається гомеоморфізмами $h:\mathrm{\Pi }\to \mathrm{\Pi }$, де $\mathrm{\Pi }$ — область між $P_0$ і $P_1$, тотожними на $P_0\cup P_1$. Коси $\alpha$ і $\beta$ еквівалентні, якщо існує такий гомеоморфізм $h$, що $h(\alpha )=\beta$.

Класи еквівалентності, далі також звані косами, утворюють групу кіс $B(n)$. Одинична коса — клас еквівалентності, який містить косу з n паралельних відрізків. Коса ${\alpha }^{-1}$зворотна до коси $\alpha$, визначається відображенням у площині $P_{1/2}$

Нитка коси з'єднує $a_i$ з $b_{j_i}$ і визначає підстановку, елемент симетричної групи $S_n$. Якщо ця підстановка тотожна, то коса називається фарбованою (або чистою) косою. Це відображення задає епіморфізм $B(n)$ на групу $S_n$ перестановок n елементів, ядром якого є підгрупа $K(n)$, яка відповідає всім чистим косам, так що є коротка точна послідовність

$0\to K(n)\to B(n)\to S_n\to 0$

Сплетення

Нехай $𝒞$ — тензорна категорія. Сплетенням у $𝒞$ є структура комутування на $𝒞$, яка задовольняє двом співвідношенням:

$a_{U\otimes V,W}=(a_{U,W}\otimes 1_V)(1_V\otimes a_{V,W}),$

$a_{U,V\otimes W}=(1_V\otimes a_{U,W})(a_{U,V}\otimes 1_W)$

для усіх об'єктів $U,V,W.$

Якщо $c$ — сплетення у $𝒞$, то й $c^{-1}$ є сплетенням у $𝒞$.

Косовою моноїдальною категорією є моноїдальна категорія, оснащена сплетенням.

Нехай $V$ — векторний простір над $k.$ Рівняння Янга-Бакстера — рівняння для лінійного автоморфізму з простору $V\otimes V:$

$(a\otimes 1_V)(1_V\otimes a)(a\otimes 1_V)=(1_V\otimes a)(a\otimes 1_V)(1_V\otimes a).$

Це рівняння є рівністю елементів групи автоморфізмів $V\otimes V\otimes V.$ Його розв'язок називається $R$-матрицею.

Для векторного простору $V$ через ${\tau }_{V,V}\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V\otimes V)$ позначимо оператор перестановки співмножників, який представляє дві копії цього простору. Він визначається співвідношенням

${\tau }_{V,V}(v_1\otimes v_2)=v_2\otimes v_1\mathrm{\forall }{v}_1,v_2\in V.$

Оператор перестановки задовольняє рівнянню Янга-Бакстера, оскільки в симетричній групі виконується співвідношення Кокстера

$R^{12}{R}^{23}{R}^{12}=R^{23}{R}^{12}{R}^{23},$

де верхні індекси $ij$ визначають транспозицію, яка міняє $i$ та $j.$

Нехай $A=A_0\oplus A_1$ — асоціативна алгебра із одиницею (над деяким алгебрично замкненим полем нульової характеристики $𝕜$), на якій визначена операція кодобутку $\mathrm{\Delta },$ задані антипод $S$ та косий антипод $S^{\prime }$ (тобто антипод для протилежного кодобутку ${\mathrm{\Delta }}^{op}$), а також одиниця $e,$ $S^{-1}=S^{\prime }.$ $(A,R)$ є квазітрикутною супералгеброю Гопфа, якщо $R$ задовольняє квантовому рівнянню Янга-Бакстера:

$R^{12}{R}^{13}{R}^{23}=R^{23}{R}^{13}{R}^{12},$

а також співвідношенням

$(S\otimes 1)(R)=(1\otimes S^{-1})(R)=R^{-1},$

$(e\otimes 1)(R)=(1\otimes e)(R)=1,$

$(S^{\prime }\otimes 1)(R^{-1})=(1\otimes S{\text{'}}^{-1})(R^{-1})=R.$

Див. також

• Теорія вузлів
• Група кіс

Література

• Сосинский А., Косы и узлы.Шаблон:Недоступне посилання Квант № 2, 1989, стор. 6-14 Шаблон:Ref-ru

Посилання

• Танець про теорію кіс - навряд чи ви коли небуть бачили щось подібне 2017р.