Теорема Кейсі

$t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}.$

Теорема Кейсі — теорема в геометрії Евкліда, що узагальнює нерівність Птолемея. Названа за іменем ірландського математика Джона Кейсі.

Формулювання

Нехай $O$ — коло радіуса $R$. Нехай $O_1,O_2,O_3,O_4$ — (в зазначеному порядку) чотири кола, що не перетинаються, які лежать всередині $O$ і дотичні до нього. Позначимо через $t_{ij}$ довжину відрізка між точками дотику зовнішньої спільної дотичної кіл $O_i,O_j$. ТодіШаблон:Sfn:

$t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}.$

У виродженому випадку, коли всі чотири кола зводяться до точок (кіл радіуса 0), виходить точно теорема Птолемея.

Зауваження

Теорема Кейсі справедлива також у більш загальних випадках:

1. Чотири кола можуть мати не тільки внутрішній (як розібрано вище), а і зовнішній дотик до спільного кола;
2. шість попарних дотичних до цих чотирьох кіл також можуть бути як зовнішніми, так і внутрішніми (як показано на рисунку нижче).

Теорема Кейсі

При цьому виконується звичайна формула теореми Кейсі:

$t_{\alpha \beta }{t}_{\gamma \delta }+t_{\beta \gamma }{t}_{\delta \alpha }=t_{\alpha \gamma }{t}_{\beta \delta }$.

• У виродженому випадку, коли три з чотирьох кіл зводяться до точок (кіл радіуса 0), і одна сторона чотирикутника вироджується в точку, а три сторони чотирикутника, що залишилися утворюють рівносторонній трикутник, виходить точно узагальнена теорема Помпею.
• У виродженому випадку, коли всі чотири кола зводяться до точок (кіл радіуса 0), в останньому випадку також виходить теорема Птолемея.

Джерела

• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга