Теорема про симплектичного верблюда

Теорема про симплектичного верблюда — одна з основних теорем в симплектичній геометрії. Теорема говорить, що кулю можливо вкласти в циліндр, зберігаючи природну симплектичну форму, тільки якщо радіус кулі не перевищує радіуса циліндра.

Історія

Доведено в 1985 році Михайлом Громовим. Ян Стюарт назвав цю теорему теоремою про симплектичного верблюда, посилаючись на біблійну притчу Шаблон:Біблія верблюдові легше пройти через голчине вушко, ніж багатому в Боже Царство ввійти.

До появи цієї теореми було дуже мало відомо про геометрію симплектичних перетворень. Одна проста властивість симплектоморфізма полягає в тому, що він зберігає об'єм. Легко бачити, що куля будь-якого радіусу допускає вкладення в циліндр будь-якого радіусу зі збереженням об'єму. Таким чином, теорема про верблюда каже, що клас симплектичних перетворень істотно менше класу дифеоморфізмів, що зберігають об'єм.

Формулювання

У просторі

${ℝ}^{2n}=\{z=(x_1,\dots ,x_n,y_1,\dots ,y_n)\}$

з симплектичною формою

$\omega =d{x}_1\wedge d{y}_1+\dots +d{x}_n\wedge d{y}_n$

розглянемо кулю радіуса R

$B(R)=\{z\in {ℝ}^{2n}\mid \Vert z\Vert <R\}$

і циліндр радіуса r

$Z(r)=\{z\in {ℝ}^{2n}\mid x_1^2+y_1^2<r^2\}.$

Теорема про симплектичного верблюда каже, що якщо ми можемо знайти симплектичне вкладення

$\varphi :B(R)\to Z(r),$

то $R⩽r$.

Джерела

• Maurice A. de Gosson: The symplectic egg, arXiv:1208.5969v1, submitted on 29 August 2012 — includes a proof of a variant of the theorem for case of linear canonical transformations
• Dusa McDuff: What is symplectic geometry? Шаблон:Webarchive, 2009