Алгебра вершинних операторів

Алгебри вершинних операторів вперше були введені Річардом Борхердсом в 1986 році. Мають важливе значення для теорії струн, конформній теорії поля і для суміжних областей фізики. Аксіоми алгебри вершинних операторів — це формальна алгебрична інтерпретація того, що фізики називають хіральною алгеброю.

Алгебри вершинних операторів виявилися корисними в чисто математичних напрямах, таких як геометрична відповідність Ленглендса.

Приклади

• Ґратка Z в R дає супералгебру вершинних операторів, що відповідає одному комплексному фермиону. Це ще один спосіб формулювання бозона-ферміонної відповідності. Ферміонне поле ψ(z) і його спряжене поле ψ^†(z) визначаються виразом:

$\psi (z)=\sum e_n{z}^{-n-1},{\psi }^{†}(z)=\sum e_n^{*}{z}^n,\{e_n,e_m\}=0,\{e_m,e_n^{*}\}={\delta }_{m,n}I.$

Відповідність між ферміонами і одним зарядженим бозонним полем

$\varphi (z)=\sum a_n{z}^{-n-1},[a_m,a_n]=m{\delta }_{n+m,0}I,U{a}_n{U}^{-1}=a_n-{\delta }_{n,0}I$

набуває вигляду

$\varphi (z)=:{\psi }^{†}(z)\psi (z):$

$\psi (z)=U:\exp \int \varphi (z):$

де нормальні експоненти інтерпретується як вершинні оператори.

• Ґратка √2 Z in R дає алгебру вершинних операторів, відповідну аффінній алгебрі Каца — Муді для SU(2) на першому рівні. Вона реалізується полями

$H(z)=\varphi (z)\otimes I-I\otimes \varphi (z)$

$E(z)=\psi (z)\otimes {\psi }^{†}(z)$

$F(z)={\psi }^{†}(z)\otimes \psi (z)$

Посилання

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation