D-матриця Вігнера

$D$-матриця Вігнера є матрицею незвідного представлення груп SU (2) і SO (3). Комплексне спряження $D$-матриці є власною функцією гамільтоніана сферичних і симетричних жорстких ротаторів. Матриця була введена в 1927 році Юджином Вігнером.

Означення D-матриці Вігнера

Нехай $J_x$, $J_y$, $J_z$ утворюють алгебри Лі $\mathrm{S}\mathrm{U}(2)$ і $\mathrm{S}\mathrm{O}(3)$. У квантовій механіці ці три оператори є компонентами векторного оператора відомого як кутовий момент. Прикладами можуть служити момент електрона в атомі, електронний спін і момент кількості руху жорсткого ротатора. У всіх випадках три оператори задовольняють наступним комутаційним співвідношенням

$[J_x,J_y]=i{J}_z,[J_z,J_x]=i{J}_y,[J_y,J_z]=i{J}_x,$

де $i$ це уявна одиниця і стала Планка $\hslash$ задана рівною одиниці. Оператор

$J^2=J_x^2+J_y^2+J_z^2$

є оператором Казиміра з $\mathrm{S}\mathrm{U}(2)$ (або $\mathrm{S}\mathrm{O}(3)$, в залежності від обставин). Він може бути діагоналізований разом з $J_z$ (вибір цього оператора визначається угодою), який комутує з $J^2$. Тобто, можна показати, що існує повний набір кетів з

$J^2|jm⟩=j(j+1)|jm⟩,J_z|jm⟩=m|jm⟩,$

де $j=0,1/2,1,3/2,2,\dots$ і $m=-j,-j+1,\dots ,j$. Для $\mathrm{S}\mathrm{O}(3)$ квантове число $j$ є цілим.

Оператор повороту можна записати у вигляді

$ℛ(\alpha ,\beta ,\gamma )=e^{-i\gamma J_z}{e}^{-i\beta J_y}{e}^{-i\alpha J_z},$

де $\alpha ,\beta ,\gamma$ — кути Ейлера.

$D$-матриця Вігнера є квадратною матрицею розмірності $2j+1$ із загальним елементом

$D_{m^{\prime }m}^j(\alpha ,\beta ,\gamma )\equiv ⟨j{m}^{\prime }|ℛ(\alpha ,\beta ,\gamma )|jm⟩=e^{-i{m}^{\prime }\gamma }{d}_{m^{\prime }m}^j(\beta )e^{-im\alpha }.$

Матриця з загальним елементом

$d_{m^{\prime }m}^j(\beta )=⟨j{m}^{\prime }|e^{-i\beta J_y}|jm⟩$

відома як мала $d$-матриця Вігнера.

Список елементів d-матриці

для $j=1/2$

• $d_{1/2,1/2}^{1/2}=\cos (\theta /2)$
• $d_{1/2,-1/2}^{1/2}=-\sin (\theta /2)$

для $j=1$

• $d_{1,1}^1=\frac{1+\cos \theta }{2}$
• $d_{1,0}^1=\frac{-\sin \theta }{\sqrt{2}}$
• $d_{1,-1}^1=\frac{1-\cos \theta }{2}$
• $d_{0,0}^1=\cos \theta$

для $j=3/2$

• $d_{3/2,3/2}^{3/2}=\frac{1+\cos \theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}$
• $d_{3/2,1/2}^{3/2}=-\sqrt{3}\frac{1+\cos \theta }{2}\sin \frac{\theta }{2}$
• $d_{3/2,-1/2}^{3/2}=\sqrt{3}\frac{1-\cos \theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}$
• $d_{3/2,-3/2}^{3/2}=-\frac{1-\cos \theta }{2}\sin \frac{\theta }{2}$
• $d_{1/2,1/2}^{3/2}=\frac{3\cos \theta -1}{2}\cos \frac{\theta }{2}$
• $d_{1/2,-1/2}^{3/2}=-\frac{3\cos \theta +1}{2}\sin \frac{\theta }{2}$

для $j=2$

• $d_{2,2}^2=\frac{1}{4}{(1+\cos \theta )}^2$
• $d_{2,1}^2=-\frac{1}{2}\sin \theta (1+\cos \theta )$
• $d_{2,0}^2=\sqrt{\frac{3}{8}}{\sin }^2\theta$
• $d_{2,-1}^2=-\frac{1}{2}\sin \theta (1-\cos \theta )$
• $d_{2,-2}^2=\frac{1}{4}{(1-\cos \theta )}^2$
• $d_{1,1}^2=\frac{1}{2}(2{\cos }^2\theta +\cos \theta -1)$
• $d_{1,0}^2=-\sqrt{\frac{3}{8}}\sin 2\theta$
• $d_{1,-1}^2=\frac{1}{2}(-2{\cos }^2\theta +\cos \theta +1)$
• $d_{0,0}^2=\frac{1}{2}(3{\cos }^2\theta -1)$

Елементи $d$-матриці Вігнера із зворотними нижніми індексами знаходяться за наступним співвідношенням:

$d_{m^{\prime },m}^j=(-1{)}^{m-m^{\prime }}{d}_{m,m^{\prime }}^j=d_{-m,-m^{\prime }}^j$.

Див. також

• Коефіцієнти Клебша — Ґордана