Число Коксетера

Число Коксетера  — характеристика скінченної звідної групи Коксетера. У разі, коли група Коксетера є групою Вейля простої алгебри Лі $𝔤$, то говорять про число Коксетера алгебри $𝔤$.

Поняття названо на честь Гарольда Коксетера.

Означення

Існує кілька еквівалентних означень цього числа.

• Число Коксетера дорівнює кількості коренів, поділеній на ранг. Еквівалентно, число Коксетера рівно подвоєному числу віддзеркалень в групі Коксетера, діленому на ранг. Якщо група побудована за простою алгеброю Лі, то розмірність цієї алгебри дорівнює n(h + 1), де n — ранг, і h — число Коксетера.
• Елементом Коксетера (інколи елементом Кіллінга — Коксетера) називається добуток всіх простих відображень (не плутати з елементом групи Коксетера найбільшої довжини). Числом Коксетера називається порядок елемента Коксетера.
• Якщо $\theta =\sum m_i{\alpha }_i$ — розкладання старшого кореня за простими коренями, то число Коксетер дорівнює $1+\sum m_i$.
  • Еквівалентно, якщо ${\rho }^{\vee }$ — такий елемент, що $⟨{\rho }^{\vee },{\alpha }_i⟩=1$, то $h=⟨{\rho }^{\vee },\theta ⟩+1$.
• Число Коксетера — це найбільша з ступенів базисних інваріантів групи Коксетера.

Таблиця значень

Група Коксетера і символ Шлефлі		Граф Коксетера	Діаграма Динкіна	Число Коксетера $h$	Двійне число Коксетера $h^{\vee }$	Ступені базисних інваріантів
An	[3,3…,3]	Шаблон:CDD…Шаблон:CDD	Шаблон:Dynkin…Шаблон:Dynkin	n + 1	n + 1	2, 3, 4, …, n + 1
Bn	[4,3…,3]	Шаблон:CDD…Шаблон:CDD	Шаблон:Dynkin…Шаблон:Dynkin	2n	2n − 1	2, 4, 6, …, 2n
Cn			Шаблон:Dynkin…Шаблон:Dynkin		n + 1
Dn	[3,3,..31,1]	Шаблон:CDD…Шаблон:CDD	Шаблон:Dynkin…Шаблон:Dynkin	2n − 2	2n − 2	n; 2, 4, 6, …, 2n − 2
E6	[32,2,1]	Шаблон:CDD	Шаблон:Dynkin2	12	12	2, 5, 6, 8, 9, 12
E7	[33,2,1]	Шаблон:CDD	Шаблон:Dynkin2	18	18	2, 6, 8, 10, 12, 14, 18
E8	[34,2,1]	Шаблон:CDD	Шаблон:Dynkin2	30	30	2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30
F4	[3,4,3]	Шаблон:CDD	Шаблон:Dynkin Шаблон:Dynkin	12	9	2, 6, 8, 12
G2	[6]	Шаблон:CDD	Шаблон:Dynkin Шаблон:Dynkin	6	4	2, 6
H3	[5,3]	Шаблон:CDD	-	10		2, 6, 10
H4	[5,3,3]	Шаблон:CDD	-	30		2, 12, 20, 30
I2(p)	[p]	Шаблон:CDD	-	p		2, p

Джерела

• Шаблон:Бурбакі.Групи і алгебри Лі.г4-6
• J. Humphreys, Reflection groups and Coxeter groups, Cambridge University Press, 1990.
• Etingof, Pavel I.; Frenkel, Igor; Kirillov, Alexander A. (1998), Lectures on Representation Theory and Knizhnik–Zamolodchikov Equations, Mathematical Surveys and Monographs 58, American Mathematical Society, ISBN 0821804960